循環小数を分数(有理数)に直す問題の解き方

循環小数を分数に直す問題を考えてみましょう。循環小数とは、同じ並びがいつまでも続く小数です。

例えば0.232323…も11.111…も循環小数です。こうした小数は、同じ数が並んでいる個数に相当する10のべき乗(10、100、1000など)をかけることで求めます。

循環小数をかける

下図のように、循環小数を構成する並びを見て、3個ずつ並んでいれば1000、4個ずつ並んでいれば10000をかけましょう。例えば0.2323…は2、3という並びが続いているので100倍します。

循環小数をかける

0.002323…のように、最初に0が続いているような数も100倍します。

循環小数を分数にする

もとの数をxとして、上のとおり10のべき乗をかけた数を求めて、もとの数から引きます。例えば0.357357…という数は、それを1000倍した数1000xは357.357357…です。

循環小数を分数にする

1000x-x
=357.357357…-0.357357…
=357

999x=357

もとの循環小数を有理数にするためには、無限に続く小数の部分をうまく消す必要があります。999x=357とわかったので、357/999が求める分数になります。実際、これを電卓で計算するともとの0.357…が出てきます。

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