循環小数を分数にする方法と問題

循環小数とは、$0.17171717 \ldots$ といった数のように小数点以下が規則正しく並ぶような小数のことです。この場合、$17$ という数がまとまって続いているため、$0.\dot{1}\dot{7}$ という略式で表します。

$0.17171717 \ldots = 0.\dot{1}\dot{7}$

いくつかの循環小数を略式で書いてみます。

$0.315231523152 \ldots = 0.\dot{3}\dot{1}\dot{5}\dot{2}$
$0.243243243 \ldots = 0.\dot{2}\dot{4}\dot{3}$
$0.111111 \ldots = 0.\dot{1}$

実は $0.111111 \ldots = 0.\dot{1}$ は $\dfrac{1}{9}$ です。

$0.111111 \ldots = 0.\dot{1} = \dfrac{1}{9}$

このように循環小数は基本的に分数で表すことができます。高校数学数Ⅰの数と式では、循環小数を分数にする問題が出てきます。高校生の方は必ずできるようにしましょう。

例:$A = 0.615615615 \ldots = 0.\dot{6}\dot{1}\dot{5}$

まず循環小数 $A$ の数列部分の数(上では $615$ だから $3$ 個)を数え、$2$ 個であれば $10^2 = 100$ を、$3$ 個であれば $10^3 = 1000$ をその循環小数にかけます。

$1000A = 0.615615615 \ldots \times 1000 = 615.615615615 \ldots$

新しく作った循環小数($1000A$)から元の循環小数を引きます。

$1000A - A = 615.615615615 \ldots - 0.615615615 \ldots = 615$

すると循環小数の倍数が整数となって出てきます。

$999A = 615$
$A = \dfrac{615}{999}$

1次の循環小数を分数にしなさい。

(1) $0.\dot{2}$

(2) $0.\dot{1}\dot{6}$

(3) $0.\dot{5}\dot{9}\dot{3}$

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

(1) $A = 0.222 \ldots = 0.\dot{2}$

\begin{eqnarray}
10A & = & 0.222 \ldots \times 10 = 2.222 \ldots \
A & = & 0.222 \ldots \
9A & = & 2 \
A & = & \frac{2}{9}
\end{eqnarray}

(2) $A = 0.161616 \ldots = 0.\dot{1}\dot{6}$

\begin{eqnarray}
100A & = & 0.161616 \ldots \times 100 = 16.161616 \ldots \
A & = & 0.161616 \ldots \
99A & = & 16 \
A & = & \frac{16}{99}
\end{eqnarray}

(3) $A = 0.593593593 \ldots = 0.\dot{5}\dot{9}\dot{3}$

\begin{eqnarray}
1000A & = & 0.593593593 \ldots \times 1000 = 593.593593593 \ldots \
A & = & 0.593593593 \ldots \
999A & = & 593 \
A & = & \frac{593}{999}
\end{eqnarray}

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