環と可換環の定義

環は足し算と掛け算のある集合です。足し算について可換群であり、掛け算について結合法則と分配法則が成り立ちます。環の代表例として整数と多項式環があげられます。環は掛け算について逆元を必ずしも持たないことに注意してください。

環の定義

集合 $R$ の任意の元 $a,\ b \in R$ について以下の性質を満たすように $+$ と $*$ が定義されているとき、 $R$ を(単位元つきの)環(ring)という。

\[ (R1)\ \ \forall a,\ b,\ c \in R,\ (a + b) + c = a + (b + c) \\ (R2)\ \ \exists 0 \in R,\ \forall a \in R,\ a + 0 = 0 + a = a \\ (R3)\ \ \forall a \in R,\ \exists b \in R,\ a + b = b + a = 0 \\ (R4)\ \ \forall a,\ b \in R,\ a + b = b + a \]

\[ (R5)\ \ \forall a,\ b,\ c \in R,\ (a * b) * c = a * (b * c) \\ (R6)\ \ \exists e \in R,\ \forall a \in R,\ a * e = e * a = a \\ (R7)\ \ \forall a,\ b,\ c \in R,\ a * (b + c) = a * b + a * c,\ (a + b) * c = a * c + b * c \]

$R1$ から $R4$ まではアーベル群の定義となっています(足し算について群であり、可換である)。 $R5$ と $R6$ は掛け算の定義と単位元の存在を示しています。逆元は定義されていません。続いて $R7$ はいわゆる分配法則の定義です。これが環の性質を決定づけています。整数や多項式の集合といった基本的な集合を扱う上で外せない性質です。

\[ (R8)\ \ \forall a, b \in R,\ a * b = b * a \]

$R8$ が加わった環を可換環といいます。可換環は掛け算について可換であり、体と並んで代数学の中心的なテーマです。代数曲線の理論(代数幾何学)を学ぶ上で可換環の知識は欠かせません。

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