高校数学Ⅰ 平方根の性質と公式

$a \geqq 0,\ b \geqq 0$ とする。

平方根の公式(基本) \[ (1)\ \ \sqrt{a} \geqq 0 \\ (2)\ \ (\sqrt{a})^2=(-\sqrt{a})^2=a \]

平方根の公式(応用) \[ (1)\ \ \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} \\ (2)\ \ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ (b \neq 0) \\ (3)\ \ \sqrt{a^2 b}=a\sqrt{b} \\ (4)\ \ m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a} \\ (5)\ \ m\sqrt{a}-n\sqrt{a}=(m-n)\sqrt{a} \]

平方根の例題

下の例題を見てわかるように、ルートの中身はなるべく小さくします。公式(応用)の $3$ 番目を使っていることに注意。まずは平方根のかけ算。

[
\sqrt{3}\sqrt{4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \
\sqrt{5}\sqrt{2}=\sqrt{10} \
\sqrt{6}\sqrt{8}=\sqrt{48}=4\sqrt{3} \
\sqrt{8}\sqrt{12}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}
]

続いて平方根の割り算(分数)。

[
\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3} \
\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}=\sqrt{5} \
\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{4}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2} \
\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}
]

続いて足し算と引き算。足し算と引き算は必ずルートの中身を同じにします。ルートの中身が異なる数を足したり引いたりするときは、公式(応用)の $3$ 番目を使ってルートの中身をそろえます。

[
2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=6\sqrt{3} \
5\sqrt{7}-3\sqrt{7}=2\sqrt{7} \
\sqrt{27}+\sqrt{48}=3\sqrt{3}+4\sqrt{3}=7\sqrt{3} \
\sqrt{45}+\sqrt{20}=3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}
]