高校数学Ⅰ 平方根の性質と公式

$a \geqq 0,\ b \geqq 0$ とする。

平方根の公式(基本)

$\sqrt{a} \geqq 0$

$\ (\sqrt{a})^2=(-\sqrt{a})^2=a$

二乗すると必ず正になることから、平方根は必ず正になる。平方根を二乗するともとの数に戻る。

平方根の図

平方根の公式(応用)

$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ (b \neq 0)$

$\sqrt{a^2 b}=a\sqrt{b}$

$m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}$

$m\sqrt{a}-n\sqrt{a}=(m-n)\sqrt{a}$

下の例題を見てわかるように、ルートの中身はなるべく小さくする。このとき公式(応用)の 3 番目をよく使う。

平方根のかけ算

$\sqrt{3}\sqrt{4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$\sqrt{5}\sqrt{2}=\sqrt{10}$

$\sqrt{6}\sqrt{8}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

$\sqrt{8}\sqrt{12}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$

平方根の割り算

$\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$

$\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}=\sqrt{5}$

$\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{4}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

$\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

平方根の計算例

平方根の足し算と引き算

足し算と引き算はルートの中身を同じにする。分数の足し算と引き算で分母をそろえるように、ルートの足し算と引き算でもルートの中身をそろえる。

$2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

$5\sqrt{7}-3\sqrt{7}=2\sqrt{7}$

$\sqrt{27}+\sqrt{48}=3\sqrt{3}+4\sqrt{3}=7\sqrt{3}$

$\sqrt{45}+\sqrt{20}=3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}$

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