ルートを分数にできない問題の背理法による証明|高校数学

√2 は q/p と表すことができません。これは背理法というやり方で証明します。

方針
√2 を q/p と表したときに矛盾が出てくることを示す。

√2 = q/p とかけるとする。ここで p と q は互いの素の整数である。分数は分子と分母が互いに素になるまで約分できる。

両辺を二乗すると下のように変形できる。

分数を二乗する

q2 は偶数になる。奇数の二乗は奇数になるので q も偶数になる。すると q = 2n とかける。

q を 2n にすると

偶数の矛盾

となり、p2 は偶数になる。q のときと同じ理由で p も偶数になる。

p と q は両方とも偶数になることがわかった。これは最初の「p と q は互いに素とする」という仮定に矛盾している。

以上から √2 を q/p と表すことはできないとわかりました。この問題は数学Ⅰの定期試験(中間・期末試験)によく出るので、証明を何度か書いて覚えてみましょう。

メモ

この問題のポイントは

  1. 両辺を二乗する
  2. 奇数の二乗は奇数になる

という点にあります。上の証明で「二乗して偶数になる数は偶数である」とありますが、大学受験ではこれを証明する必要はありません。

TeXコード

\dfrac{q}{p}&=&\sqrt{2}\\
\dfrac{q^2}{p^2}&=&2\\
q^2&=&2p^2

(2n)^2&=&2p^2\\
4n^2&=&2p^2\\
2n^2&=&p^2

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