三角関数の合成とベクトルの内積の関係

\[ a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi) \] が成り立つ。ただし \[ \left\{ \begin{array}{l} \sin\phi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \cos\phi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{array} \right. \] である。

上の公式を三角関数の合成公式という。数学Ⅱの三角関数で必ず習うこの公式は、実はベクトルの内積の形をしている。

\[ a\sin\theta+b\cos\theta=(b,\ a) \cdot (\cos\theta,\ \sin\theta) \]

ベクトル $\vec{m}=(b,\ a)$ は動かないベクトル、ベクトル $\vec{x}=(\cos\theta,\ \sin\theta)$ は動くベクトルである。ベクトル $\vec{x}=(\cos\theta,\ \sin\theta)$ は $\theta$ によって方向を変えるが、長さは常に $1$ である。

\[ |\vec{x}|=\sqrt{(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2}=1 \]

したがって $\vec{m}=(b,\ a)$ と $\vec{x}=(\cos\theta,\ \sin\theta)$ のなす角を $\phi$ とすると

\[ a\sin\theta+b\cos\theta \\ =(b,\ a) \cdot (\cos\theta,\ \sin\theta) \\ =\sqrt{a^2+b^2} \cdot 1 \cdot \cos\phi \]

となり、$a\sin\theta+b\cos\theta$ の最大値が $\sqrt{a^2+b^2}$ 、最小値が $-\sqrt{a^2+b^2}$ であるとわかる。

サインとコサインの和の最大値と最小値は、三角関数の合成を使わなくともベクトルの内積で求められる。