軸を中心に図形を回転してできる立体まとめ|中1数学

中1数学(三学期)の回転してできる立体をまとめました。まずは長方形を回転させると円柱になることを理解して、長方形を三角形にしたり、一部を切りとったり、軸から離したりして回転させた図形を想像してみよう。

軸とくっついた長方形を回転させる

円柱回転前

円柱回転後

軸とくっついた長方形を回転させると円柱になります。図形の回転で最も基本的な問題であり、この問題から「図形を回転させると(だいたい)円柱っぽい立体になる」ことがわかります。

軸とくっついた三角形を回転させる

円錐回転前

円錐回転後

三角形を回転させると三角すいになります。

ここからは少し難しい話になりますが、「三角形を回転させると三角すいになる」ことは当たり前のように見えて、それほど当たり前でもないことが「体積」の点から明らかになります。

前の問題で長方形を回転させると円柱になることがわかりました。長方形を半分にすると三角形になり、その三角形を回転させると円すい、つまり円柱の(体積が)三分の一の立体ができるわけですが、なぜこのようなズレが生じるのでしょうか?

長方形→三角形 … 面積は半分 円柱→円すい  … 体積は三分の一

面積が半分になるなら、体積も半分になってよさそうです。しかし実際は三分の一になります。このズレはどこから出てくるのでしょうか?

軸とくっついた台形を回転させる

台形1回転前

台形1回転後

これはかなり難しい問題。もともとの台形の足りないところ(長方形になりそこねているところ)があるせいで、回転させると円柱から円すいがくりぬかれたような図形になります。軸とくっついた長方形を回転させると円柱になるため、もとの長方形からきりとった部分を回転させた立体を除けばいいわけですね。

二つの長方形を組み合わせた図形を回転させる

円柱上下回転前

円柱上下回転後

この問題は中1数学「立体図形」の試験でかなりの頻度で出ます。中学生の方は覚えておきましょう。

軸と離れた長方形を回転させる

円柱大小回転前

円柱大小回転後

軸とくっついた長方形は円柱になり、軸と離れた長方形はバームクーヘンになります。

baumkuchen-free-photo1-thumbnail (Cafi Net「バウムクーヘン(プレーン)のフリー写真素材」より)

これを書いている間、腹が減ったのでバームクーヘンを食べました。

軸と離れた三角形を回転させる

円錐円柱回転前

円錐円柱回転後

三角形をそのまま回転させると円すいになりますが、軸と離して回転させるとバームクーヘンのような円すいができます。バームクーヘンの外側を、円柱から円すいにするような感じで切ったような感じ。

軸とくっついた半円を回転させる

球回転前

球回転後

軸とくっついた四分円を回転させる

半球回転前

半球回転後

四分円とは半円をさらに半分にしたもので、四分円を回転させると半球ができます。半円を回転させると球になり、四分円を回転させると半球になるというのは、とても理にかなっている感じがしますね。

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