単項式と多項式の項と次数の解説と練習問題

数字と文字をかけた式を単項式といいます。例えば $5x^2$ は単項式です。なぜなら $5x^2=5\times{x}\times{x}$ であり、数字と文字の積(かけ算)になっているからです。

単項式の例 \[ 2a,\ -7h,\ 3x^2,\ -\frac{1}{2}xyz,\ \cdots \] \[ 5,\ -1,\ \pi,\ -\frac{3}{2},\ \cdots \]

いくつかの単項式を足したり引いたりしたものを多項式といいます。

多項式の例 \[ 2a+5b\\ 3x^2-x+2\\ \pi{r}^{2}+2h\\ \vdots \]

1次の式は単項式か、それとも多項式か。

$(1)\ \ x^2$

$(2)\ \ -a+b$

$(3)\ \ x+y+z$

$(4)\ \ a^{100}$

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

$(1)$ 単項式

$(2)$ 多項式

$(3)$ 多項式

$(4)$ 単項式

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多項式の項

多項式は単項式をつなげたものです。多項式を単項式ばらしたもの一つ一つを項といいます。例えば $x^{2}-2x-1$ の項は $x^{2}$ と $-2x$ と $-1$ です。多項式の項を求めるには、多項式のつなげ方をプラスにします。

[
x^{2}-2x-1=(+x^{2})+(-2x)+(-1)
]

カッコ内のそれぞれが項になります。

[
a+b+c\ \ \to\ \ a,\ b,\ c\
-a-b+c\ \ \to\ \ -a,\ -b,\ c\
x^{3}-1\ \ \to\ \ x^{3},\ -1
]

1次の多項式の項を求めなさい。

$(1)\ \ z^{4}-z^{2}+1$

$(2)\ \ xyz-abc$

$(3)\ \ \dfrac{1}{2}n+\dfrac{1}{6}n^{2}$

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

$(1)\ \ z^{4},\ -z^{2},\ 1$

$(2)\ \ xyz,\ -abc$

$(3)\ \ \dfrac{1}{2}n,\ \dfrac{1}{6}n^{2}$

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単項式の次数

単項式には次数という考え方があります。例えば $3x^{2}y^{5}$ の次数は $7=2+5$ です。 $x$ の肩に乗っている数と $y$ の肩に乗っている数を足しているだけです。「次数とは」という教科書の説明はやや難しいため、まずは例を見て次数に慣れてください。

[
-2x^{3}\ \ \to\ \ 3
]
[
a^{1000}\ \ \to\ \ 1000
]
[
10x^{20}y^{30}\ \ \to\ \ 50
]
[
5x\ \ \to\ \ 1
]

最後の例に注意。肩に何も乗っていない数字と文字の積の次数は $1$ です。

1次の単項式の次数を求めなさい。

$(1)\ \ a^{2}b^{3}c^{4}$

$(2)\ \ y$

$(3)\ \ -10000m^{5}n^{4}$

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

$(1)\ \ 2+3+4=9$

$(2)\ \ 1$

$(3)\ \ 5+4=9$

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多項式の次数

多項式の次数は、その多項式の項(単項式)の次数の最大値のことです。例えば $3x^{2}+2x+1$ の次数は、肩に乗っている数が最も大きい項が $3x^2$ であるため $2$ となります。

[
8x^{5}+4x^{3}\ \ \to\ \ 5
]
[
a^{77}+a^{100}\ \ \to\ \ 100
]
[
a+b+c^{2}\ \ \to\ \ 2
]
[
-a+b-c\ \ \to\ \ 1
]

1次の多項式の次数を求めなさい。

$(1)\ \ a^{2}+2a+1$

$(2)\ \ d-1$

$(3)\ \ -1+x^{3}$

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

$(1)\ \ 2$

$(2)\ \ 1$

$(3)\ \ 3$

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