単項式と多項式の項と次数|中学数学

数字と文字をかけた式を単項式といいます。例えば 5x2 は単項式です。

単項式の例

2a
-7h
3x2
-xyz
5
π

5 などの一般的な数も単項式です。

多項式

いくつかの単項式を足したり引いたりしたものを多項式といいます。

$2a+5b$

$3x^2-x+2$

$\pi{r}^{2}+2h$

問題

次の式は単項式か、それとも多項式か。

$(1)\ \ x^2$

$(2)\ \ -a+b$

$(3)\ \ x+y+z$

$(4)\ \ a^{100}$

解答

$(1)$ 単項式

$(2)$ 多項式

$(3)$ 多項式

$(4)$ 単項式

多項式の項

多項式は単項式をつなげたものです。多項式を単項式にばらしたもの一つ一つを項といいます。

例えば $x^{2}-2x-1$ の項は

$x^{2}$
$-2x$
$-1$

の三つ。

多項式の項にマイナス(-)がついているときは、次のようにカッコをつけるとわかりやすい。

$x^{2}-2x-1=(+x^{2})+(-2x)+(-1)$

問題

次の多項式の項を求めなさい。

$(1)\ \ z^{4}-z^{2}+1$

$(2)\ \ xyz-abc$

$(3)\ \ \dfrac{1}{2}n+\dfrac{1}{6}n^{2}$

解答

$(1)\ \ z^{4},\ -z^{2},\ 1$

$(2)\ \ xyz,\ -abc$

$(3)\ \ \dfrac{1}{2}n,\ \dfrac{1}{6}n^{2}$

単項式の次数

単項式には次数という考え方があります。

例えば

$3x^{2}y^{5}$

の次数は

$7=2+5$

です。

$x$ の肩に乗っている数と $y$ の「肩に乗っている数」を足しています。次数は、すべての文字の「肩に乗っている数」を足した数のことです。

$-2x^{3}\ \ \to\ \ 3$

$a^{1000}\ \ \to\ \ 1000$

$10x^{20}y^{30}\ \ \to\ \ 50$

$5x\ \ \to\ \ 1$

肩になにも乗っていない数字と文字の積の次数は $1$ です。

問題

次の単項式の次数を求めなさい。

$(1)\ \ a^{2}b^{3}c^{4}$

$(2)\ \ y$

$(3)\ \ -10000m^{5}n^{4}$

解答

$(1)\ \ 2+3+4=9$

$(2)\ \ 1$

$(3)\ \ 5+4=9$

多項式の次数

多項式の次数は、その多項式の項(単項式)の次数の最大値のことです。

$3x^{2}+2x+1$ の次数は、次数が最も大きい項(多項式をばらばらにした一つ一つの単項式)が $3x^2$ であるため $2$ となります。

$8x^{5}+4x^{3}\ \ \to\ \ 5$

$a^{77}+a^{100}\ \ \to\ \ 100$

$a+b+c^{2}\ \ \to\ \ 2$

$-a+b-c\ \ \to\ \ 1$

問題

次の多項式の次数を求めなさい。

$(1)\ \ a^{2}+2a+1$

$(2)\ \ d-1$

$(3)\ \ -1+x^{3}$

解答

$(1)\ \ 2$

$(2)\ \ 1$

$(3)\ \ 3$

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