つるかめ算の面積図による解き方とポイント

例えば次の問題を考えてみます。

つるとかめが合わせて $7$ 匹いた。つるとかめの足は全部で $18$ 本だった。つるとかめはそれぞれ何匹いるか?

つるの足は $2$ 本、かめの足は $4$ 本です。つるが◯匹、かめが△匹いたとすると

[
\left{
\begin{array}{l}
◯+△=7 \
◯ \times 2+△ \times 4=18
\end{array}
\right.
]

となります。このように「わからない数」が $2$ つあり、「わからない数」を使った式が $2$ つあり、しかもそのうちの $1$ つが「◯+△」という式になるとき、面積図を使って答えを求めることができます。

この問題であれば次のような面積図を書きます。

tsurukame1

つるの数をよこ、つるの $1$ 匹あたりの足の数( $2$ 本)をたてとする長方形と、かめの数をよこ、かめの $1$ 匹あたりの足の数( $4$ 本)をたてとする長方形をくっつけた図です。これをつるかめ算の面積図といいます。

それぞれの長方形の面積はつる全員分の足の数とかめ全員分の足の数です。

二つの長方形を合わせた全体の面積は、問題文にあるように $18$ 本です。

tsurukame2

ここまでがつるかめ算の準備です。

つるかめ算の解き方

つるかめ算は下のように「空白の長方形」の面積を求めるところがポイントです。まず「大きな長方形」の面積を求めます。

tsurukame3

次に「空白の長方形」の面積を求めます。緑色の長方形に注目してください。

tsurukame4

黄色で書いた「大きな長方形」から元の形を引くと、緑色の「空白の長方形」の面積が出てきます。

後はこの「空白の長方形」の面積をかめの足とつるの足の差( $2=4-2$ )で割ると、つるの数が求まります。

以上から

つる $5$ 匹
かめ $2$ 匹

となります。

つるかめ算の問題

つるかめ算の問題をもう $1$ 問解いてみましょう。

太郎くんはみかんとりんごを合わせて $18$ 個買い、 $700$ 円払った。みかんは $1$ 個あたり $30$ 円、りんごは $1$ 個あたり $50$ 円である。太郎くんはみかんとりんごをそれぞれ何個ずつ買ったか?

買ったみかんの数を◯、りんごの数を△とすると

[
\left{
\begin{array}{l}
◯+△=18 \
◯ \times 30+△ \times 50=700
\end{array}
\right.
]

となります。

それではこれを面積図にしてみましょう。

tsurukame5

みかんが左の長方形、りんごが右の長方形です。長方形のよこは個数、たては一個あたりの値段、面積は全体の値段になります。

一方、二つの長方形を合わせた面積は $700$ 円となります。

tsurukame6

ここまできたら、先ほどと同じように「大きな長方形」の面積を求めます。底辺が $18$ 個、高さがりんごの一個あたりの値段である $50$ 円の長方形です。

tsurukame7

あとはこの「大きな長方形」から元の図形を引いた「空白の長方形」の面積を求めます。

tsurukame8

この「空白の長方形」は $900-700=200$ 円となり、りんごとみかんの差額である $20$ 円で割ると、◯に相当する底辺の長さが $10$ 個と求まります。

最後の仕上げにりんごの数を全体の個数からみかんの数 $10$ 個で引いて $18-10=8$ 個と求めます。

みかん $10$ 個
りんご $8$ 個

つるかめ算はつるかめ算の面積図を書くことができれば解けたも同じです。自分で何回か面積図を書いてみましょう。

$x,\ y$ を使った方程式による解き方

一般的に中学受験では方程式を使いませんが、理解のために方程式の解き方も紹介します。

まず最初のつるとかめの問題から。

つるとかめが合わせて $7$ 匹いた。つるとかめの足は全部で $18$ 本だった。つるとかめはそれぞれ何匹いるか?

つるの数を $x$ 匹とすると、かめは $7-x$ 匹となります。すると

[
2 \times x+4 \times (7-x)=18
]

となります。

[
2 \times x+4 \times (7-x)=18 \
2x+4(7-x)=18 \
2x+28-4x=18 \
-2x=-10 \
2x=10 \
x=5 \
]

となり、つるの数は $5$ 匹とわかります。ここでつるかめ算を方程式を用いて解くためには

・文字式を知っている
・マイナスの計算ができる

ことが不可欠です。

続いてみかんとりんごの問題。

太郎くんはみかんとりんごを合わせて $18$ 個買い、 $700$ 円払った。みかんは $1$ 個あたり $30$ 円、りんごは $1$ 個あたり $50$ 円である。太郎くんはみかんとりんごをそれぞれ何個ずつ買ったか?

みかんの数を $x$ 個とすると、りんごの数は $18-x$ 個となり

[
30 \times x+50 \times (18-x)=700
]

となります。

[
30 \times x+50 \times (18-x)=700 \
30x+50(18-x)=700 \
30x+900-5x=700 \
-20x=-200 \
20x=200 \
x=10 \
]

となり、みかんの数が $10$ 個であるとわかりました。

中学受験では面積図と方程式のどちらを最初に学ぶべきか?

面積図は癖があり、どうしても面積図を理解できないという方はかなりいます。また厄介なことに、問題文を読んでそれがつるかめ算の問題であるかどうか判断するのも難しく、つるかめ算は算数の文章題の難所といえるでしょう。

一方、方程式を使った解き方はとても簡単。わからないものをとりあえず $x$ とするだけでほとんど自動的に解けてしまう。文章を式にするところはやや難しいものの、面積図を書くよりは簡単です。

また方程式を知っているとつるかめ算以外の和差算、年齢算、消去算、あるいは旅人算、流水算、通過算といった速さの問題まで解けるようになる。

方程式を知らないとつるかめ算は面積図、和差算と年齢算は線分図、旅人算はグラフといった具合で方法を変えていかないといけない。ここを負担に感じている受験生はとても多いです。

面積図とグラフは方程式を違った角度から理解するために必要ですが、どうしても面積図やグラフに抵抗がある、あるいはなかなか理解できない、アウトプットできないという場合は、方程式を勉強することも考慮するべきですね。

・算数が苦手なほうだ
・算数のうち文章題が特に苦手だ
・計算は比較的好きだ

という方は面積図を一度置いて、方程式を勉強することをおすすめします。マイナスの計算や方程式の計算は一見時間がかかるように考えられますが、計算が比較的好きで、文章題が大嫌いだという方は面積図とずっとにらめっこしているほうが時間をロスしてしまう可能性があります…。

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