二つの直線のなす角の公式(tanの加法定理の応用)

タンジェントの加法定理の応用として2直線のなす角を求める問題があります。

直線 $y=ax+b$ と $x$ 軸のなす角を $\alpha$ 、直線 $y=cx+d$ と $x$ 軸のなす角を $\beta$ とすると \[ \left\{ \begin{array}{l} \tan{\alpha} = a \\ \tan{\beta} = b \end{array} \right. \] が成り立つ。したがって2直線 $y=ax+b$ と $y=cx+d$ のなす角を $\theta$ は \begin{eqnarray} \tan{\theta} & = & |\tan{(\alpha-\beta)}| \\ & = & \left|\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}\right| \\ & = & \left|\frac{a-c}{1+ac}\right| \end{eqnarray}となる。ただし $\theta$ は $90^{\circ}$ でないとする。

2直線のなす角の注意点

2直線のなす角は2つあります。1つは $90^{\circ}$ より小さい角 $x$ 、もう1つは $90^{\circ}$ より大きい角 $y$ 。

※公式の注意書きにあるようになす角 $\theta$ が $90^{\circ}$ でないとする。

しかし数学で2直線の『なす角』と言われたら、 $90^{\circ}$ より小さい角 $x$ を指します。一方、直線 $y=ax+b$ と $x$ 軸のなす角を $\alpha$ 、直線 $y=cx+d$ と $x$ 軸のなす角を $\beta$ としても、 $\alpha-\beta$ が $90^{\circ}$ より小さいのか大きいのかわからない。

① $\alpha-\beta$ が $90^{\circ}$ より小さいとき、 $\theta=\alpha-\beta$ となります。
② $\alpha-\beta$ が $90^{\circ}$ より大きいとき、 $\theta=\alpha-\beta-90^{\circ}$ となります。

そしてどちらの場合も
[
\tan{\theta} = |\tan{(\alpha-\beta)}|
]
が成り立ちます。

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