平面ベクトルを二つの平面ベクトルに分解する問題は連立方程式の問題に帰着させる

平面ベクトル $\vec{p}$ を二つの平面ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に分解するとは

[
\vec{p} = m \vec{a} + n \vec{b}
]

を満たす実数 $m$ と $n$ を求めることです。

平面ベクトルを二つの平面ベクトルに分解する問題の解き方

例題 $\vec{p}=(-2,9)$ を $\vec{a}=(2,1)$ と $\vec{b}=(-4,3)$ で表しなさい。

まずは $\vec{p} = m \vec{a} + n \vec{b}$ という式を作る。

[
(-2,9) = m (2,1) + n (-4,3)
]

次にこれを成分ごとに分ける。

\begin{eqnarray}
-2 & = & 2m + (-4)n \
9 & = & m + 3n
\end{eqnarray}

連立方程式の問題に帰着された。後はこの連立方程式をお好みのやり方で解く。

\begin{eqnarray}
m & = & 3 \
n & = & 2
\end{eqnarray}

以上から

[
\vec{p} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b}
]

となります。

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