2次方程式と3次方程式の解と係数の関係(証明と練習問題)

$2$ 次方程式の解と係数の関係 $ax^{2}+bx+c=0$ の解 $\alpha,\ \beta$ について次の等式が成り立つ。 \[ \alpha+\beta=-\frac{b}{a} \] \[ \alpha\beta=\frac{c}{a} \] これを解と係数の関係という。

$3$ 次方程式の解と係数の関係 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の解 $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ について次の等式が成り立つ。 \[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a} \] \[ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a} \] \[ \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \] これを( $3$ 次方程式の)解と係数の関係という。

$2$ 次方程式の解と係数の関係の証明

$ax^{2}+bx+c=0$ の解が $\alpha,\ \beta$ のとき

[
ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)
]

となる。

[
a(x-\alpha)(x-\beta)\
=a{x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta}\
=ax^{2}-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\
=ax^{2}+bx+c
]

一次の係数と定数項を比較すると

[
\left{
\begin{array}{l}
-a(\alpha+\beta)=b\
a\alpha\beta=c
\end{array}
\right.
]
[
\left{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\
\alpha\beta=\dfrac{c}{a}
\end{array}
\right.
]

となる。

$3$ 次方程式の解と係数の関係の証明

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の解が $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ のとき

[
ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
]

となる。

[
a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\
=a{x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta}(x-\gamma)\
=a{x^{3}-(\alpha+\beta+\gamma)x^{2}+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x+\alpha\beta\gamma}\
=ax^{3}-a(\alpha+\beta+\gamma)x^{2}+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x+a\alpha\beta\gamma\
=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
]

二次の係数、一次の係数、定数項を比較すると

[
\left{
\begin{array}{l}
-a(\alpha+\beta+\gamma)=b\
a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=c\
a\alpha\beta\gamma=d
\end{array}
\right.
]
[
\left{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}\
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}\
\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}
\end{array}
\right.
]

となる。

練習問題

1次の $2$ 次方程式の $2$ つの解の和と積を求めなさい。

$(1)$ $x^{2}+3x-4=0$

$(2)$ $x^{2}-x-6=0$

$(3)$ $2x^{2}+13x+15=0$

$(4)$ $6x^{2}-11x+4=0$

$(5)$ $-2x^{2}+3x+2=0$

[su_accordion]
[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

$(1)$ 和:$-3$ 積:$-4$

$(2)$ 和:$1$ 積:$6$

$(3)$ 和:$-\dfrac{13}{2}$ 積:$\dfrac{15}{2}$

$(4)$ 和:$\dfrac{11}{6}$ 積:$\dfrac{2}{3}$

$(5)$ 和:$\dfrac{3}{2}$ 積:$-1$

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[/su_accordion]

2$2$ 次方程式 $x^{2}-2x-1$ の解を $\alpha,\ \beta$ とするとき、次の式の値を求めなさい。

$(1)$ $\alpha+\beta$

$(2)$ $\alpha\beta$

$(3)$ $\alpha^{2}+\beta^{2}$

$(4)$ $(\alpha+1)(\beta+1)$

$(5)$ $\alpha^{3}+\beta^{3}$

[su_accordion]
[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

2

$(1)$ $2$

$(2)$ $-1$

$(3)$
[
(\alpha+\beta)^{2}\
=\alpha^{2}+2\alpha\beta+\beta^{2}\
=\alpha^{2}+\beta^{2}-2\
=4
]
[
\alpha^{2}+\beta^{2}=6
]

$(4)$
[
(\alpha+1)(\beta+1)\
=\alpha\beta+\alpha+\beta+1\
=(-1)+2+1\
=2
]

$(5)$
[
\alpha^{3}+\beta^{3}\
=(\alpha+\beta)(\alpha^{2}-\alpha\beta+\beta^{2})\
=2\cdot(6-(-1))\
=14
]

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[/su_accordion]