2次方程式と3次方程式の解と係数の関係

2 次方程式の解と係数の関係

$ax^{2}+bx+c=0$ の解 $\alpha,\ \beta$ について次の等式が成り立つ。

\[ \left\{ \begin{array}{l} \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\\ \alpha\beta=\dfrac{c}{a} \end{array} \right. \]

これを解と係数の関係という。

3 次方程式の解と係数の関係

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の解 $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ について次の等式が成り立つ。

\[ \left\{ \begin{array}{l} \alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}\\ \alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a} \end{array} \right. \]

これを（ $3$ 次方程式の）解と係数の関係という。

2 次方程式の解と係数の関係の証明

$ax^{2}+bx+c=0$ の解が $\alpha,\ \beta$ のとき

\[ ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) \]

となる。

\[ a(x-\alpha)(x-\beta)\\ =a\{x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}\\ =ax^{2}-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\\ =ax^{2}+bx+c \]

一次の係数と定数項を比較すると

\[ \left\{ \begin{array}{l} -a(\alpha+\beta)=b\\ a\alpha\beta=c \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\\ \alpha\beta=\dfrac{c}{a} \end{array} \right. \]

となる。

3 次方程式の解と係数の関係の証明

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の解が $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ のとき

\[ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \]

となる。

\[ a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ =a\{x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}(x-\gamma)\\ =a\{x^{3}-(\alpha+\beta+\gamma)x^{2}+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x+\alpha\beta\gamma\}\\ =ax^{3}-a(\alpha+\beta+\gamma)x^{2}+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x+a\alpha\beta\gamma\\ =ax^{3}+bx^{2}+cx+d \]

二次の係数、一次の係数、定数項を比較すると

\[ \left\{ \begin{array}{l} -a(\alpha+\beta+\gamma)=b\\ a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=c\\ a\alpha\beta\gamma=d \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} \alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}\\ \alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a} \end{array} \right. \]

となる。

基本問題

次の 2 次方程式の 2 つの解の和と積を求めなさい。

$(1)$　$x^{2}+3x-4=0$

$(2)$　$x^{2}-x-6=0$

$(3)$　$2x^{2}+13x+15=0$

$(4)$　$6x^{2}-11x+4=0$

$(5)$　$-2x^{2}+3x+2=0$

解答

$(1)$　和：$-3$　積：$-4$

$(2)$　和：$1$　積：$6$

$(3)$　和：$-\dfrac{13}{2}$　積：$\dfrac{15}{2}$

$(4)$　和：$\dfrac{11}{6}$　積：$\dfrac{2}{3}$

$(5)$　和：$\dfrac{3}{2}$　積：$-1$

練習問題

2 次方程式 $x^{2}-2x-1$ の解を $\alpha,\ \beta$ とするとき、次の式の値を求めなさい。

$(1)$　$\alpha+\beta$

$(2)$　$\alpha\beta$

$(3)$　$\alpha^{2}+\beta^{2}$

$(4)$　$(\alpha+1)(\beta+1)$

$(5)$　$\alpha^{3}+\beta^{3}$

解答

$(1)$　$2$

$(2)$　$-1$

$(3)$

\[ (\alpha+\beta)^{2}\\ =\alpha^{2}+2\alpha\beta+\beta^{2}\\ =\alpha^{2}+\beta^{2}-2\\ =4 \] \[ \alpha^{2}+\beta^{2}=6 \]

$(4)$

\[ (\alpha+1)(\beta+1)\\ =\alpha\beta+\alpha+\beta+1\\ =(-1)+2+1\\ =2 \]

$(5)$

\[ \alpha^{3}+\beta^{3}\\ =(\alpha+\beta)(\alpha^{2}-\alpha\beta+\beta^{2})\\ =2\cdot(6-(-1))\\ =14 \]