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1の3乗根とオメガの公式(ω²+ω+1=0)|複素数

$1$ の $3$ 乗根とは、その数を $3$ 乗すると $1$ になるような数で、高校数学では $\omega$(オメガ)で表す。$1$ の $3$ 乗根は次の三つ。

\[ 1, \ \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, \ \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \]

一般的に $1$ の $n$ 乗根は $n$ 個存在する。

証明

$\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ の $3$ 乗が $1$ であることを確かめよう。

\[ \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^3 \\ = \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \\ = \left(\frac{-2-2\sqrt{3}i}{4}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \\ = \left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \\ = \left(\frac{4}{4}\right) \\ = 1 \]

ちょっとしたポイント

上の途中式からわかるように $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ の $2$ 乗は $\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ になります。実は $\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ の $2$ 乗も $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ になります。

\[ \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2 = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\ \left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^2 = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \]

したがって $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ 以外の複素数を $\omega$ とすると、 $1$ の $3$ 乗根は $1,\ \omega,\ \omega^2$ となります。

$1$ の $3$ 乗根に関する公式

$1$ の $3$ 乗根のうち $1$ 以外の複素数を $\omega$ とします。

① $1$ の $3$ 乗根は $1,\ \omega,\ \omega^2$
② $\omega^3=1$
③ $\omega^2+\omega+1=0$

三番目の公式は二番目の公式から導くことができます。

\[ \omega^3=1 \\ \omega^3-1=0 \\ (\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0 \\ \omega^2+\omega+1=0\ (\omega \neq 1) \]

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