1の3乗根とオメガの公式（ω²+ω+1=0）｜複素数

1の3乗根とは、その数を3乗すると1になるような数で、高校数学ではω（オメガ）で表す。1の3乗根は次の三つがある。

\[ \cdot\ \ 1 \\ \cdot\ \ \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \\ \cdot\ \ \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \]

一般的に1のn乗根はn個存在する。

証明

$\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ の3乗が1であることを確かめよう。

\[ \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^3 \\ = \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \\ = \left(\frac{-2-2\sqrt{3}i}{4}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \\ = \left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \\ = \left(\frac{4}{4}\right) \\ = 1 \]

ちょっとしたポイント

上の途中式からわかるように $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ の $2$ 乗は $\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ になります。実は同様に $\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ の $2$ 乗も $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ になります。

\[ \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2 = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\ \left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^2 = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \]

したがって $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ 以外の複素数を $\omega$ とすると、 $1$ の $3$ 乗根は $1,\ \omega,\ \omega^2$ となります。

1の3乗根に関する公式

先述のように $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ 以外の複素数を $\omega$ とします。

①　$1$ の $3$ 乗根は $1,\ \omega,\ \omega^2$
②　$\omega^3=1$
③　$\omega^2+\omega+1=0$

三番目の公式は二番目の公式から導くことができます。

\[ \omega^3=1 \\ \omega^3-1=0 \\ (\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0 \\ \omega^2+\omega+1=0\ (\omega \neq 1) \]