1の3乗根とオメガの公式(ω²+ω+1=0)|複素数
$1$ の $3$ 乗根とは、その数を $3$ 乗すると $1$ になるような数で、高校数学では $\omega$(オメガ)で表す。$1$ の $3$ 乗根は次の三つ。
\[ 1, \ \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, \ \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \]
一般的に $1$ の $n$ 乗根は $n$ 個存在する。
証明
$\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ の $3$ 乗が $1$ であることを確かめよう。
\[ \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^3 \\ = \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \\ = \left(\frac{-2-2\sqrt{3}i}{4}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \\ = \left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \\ = \left(\frac{4}{4}\right) \\ = 1 \]
ちょっとしたポイント
上の途中式からわかるように $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ の $2$ 乗は $\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ になります。実は $\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ の $2$ 乗も $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ になります。
\[ \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2 = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\ \left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^2 = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \]
したがって $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ 以外の複素数を $\omega$ とすると、 $1$ の $3$ 乗根は $1,\ \omega,\ \omega^2$ となります。
$1$ の $3$ 乗根に関する公式
$1$ の $3$ 乗根のうち $1$ 以外の複素数を $\omega$ とします。
① $1$ の $3$ 乗根は $1,\ \omega,\ \omega^2$
② $\omega^3=1$
③ $\omega^2+\omega+1=0$
三番目の公式は二番目の公式から導くことができます。
\[ \omega^3=1 \\ \omega^3-1=0 \\ (\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0 \\ \omega^2+\omega+1=0\ (\omega \neq 1) \]
複素数(数学Ⅱ)
-
1の3乗根とオメガの公式(ω²+ω+1=0)|複素数05114
-
複素数の絶対値の定義と公式02245
-
極座標と直交座標の変換公式(2次元と3次元)033056