2次正方行列（2×2行列）の逆行列の定義と公式

$2$ 次正方行列 $A,\ B$ が

\[ AB=I \]

をみたすとき，$B$ を $A$ の逆行列，または $A$ を $B$ の逆行列 invertible matrix という．$A$ の逆行列を $A^{-1}$ と書く．

逆行列の例

\[ \left( \begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \]

だから

\[ \left( \begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \]

は

\[ \left( \begin{array}{cc} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \]

の逆行列．

逆行列の公式

\[ A= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \]

の逆行列 $A^{-1}$ は

\[ A^{-1}\\ =\left( \begin{array}{cc} \dfrac{d}{|A|} & \dfrac{-b}{|A|} \\ \dfrac{-c}{|A|} & \dfrac{a}{|A|} \end{array} \right) \\ =\dfrac{1}{|A|} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \]

となる．$| A |$ は $A$ の行列式．この行列がもとの行列の逆行列になっているか確かめよう．

\[ AA^{-1}\\ =\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \dfrac{d}{|A|} & \dfrac{-b}{|A|} \\ \dfrac{-c}{|A|} & \dfrac{a}{|A|} \end{array} \right) \\ =\left( \begin{array}{cc} \dfrac{ad-bc}{|A|} & 0 \\ 0 & \dfrac{ad-bc}{|A|} \end{array} \right)\\ =\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \]

そして

\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I \]

がなりたつ．

逆行列の計算例 $1$

\[ A= \left( \begin{array}{cc} 7 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right) \]

\[ |A|=7 \times 1-3 \times 2=1 \]

\[ A^{-1} =\left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -2 & 7 \end{array} \right) \]

逆行列の計算例 $2$

\[ A=\left( \begin{array}{cc} 9 & 4 \\ 4 & 2 \end{array} \right) \]

\[ |A|=9 \times 2-4 \times 4=2 \]

\[ A^{-1}\\ =\left( \begin{array}{cc} \dfrac{2}{2} & \dfrac{-4}{2} \\ \dfrac{-4}{2} & \dfrac{9}{2} \end{array} \right)\\ =\left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -2 & \dfrac{9}{2} \end{array} \right) \]