二項定理とパスカルの三角形（二項展開の二項係数の求め方）

二項定理

\[ (a+b)^n = {}_n C _0 a^{n} + {}_n C _1 a^{n-1} b + {}_n C _2 a^{n-2} b^2 + \cdots + {}_n C _r a^{n-r} b^r + \cdots + {}_n C _{n-1} a b^{n-1} + {}_n C _n b^n \]

2つの数の和（または差）のべき乗の展開を二項展開、二項展開の係数を二項係数という。二項定理は二項展開が上の式で表されるという定理です。また二項定理の途中に出てくる項 ${}_n C _r a^{n-r} b^r$ を一般項という。

二項展開の一般項

\[ {}_n C _r a^{n-r} b^r \]

二項定理から二項係数は

\[ {}_n C _0,\ {}_n C _1,\ {}_n C _2,\ \cdots \ ,\ {}_n C _{n-1},\ {}_n C _n \]

となっています。

パスカルの三角形

以下の数のピラミッドをパスカルの三角形という。

\[ \ \ \ \ \ 1 \ 1 \\ \ \ \ \ 1 \ 2 \ 1 \\ \ \ \ 1 \ 3 \ 3 \ 1 \\ \ \ 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 \\ \ 1 \ 5 \ 10 \ 10 \ 5 \ 1 \\ 1 \ 6 \ 15 \ 20 \ 15 \ 6 \ 1 \]

パスカルの三角形は

①　頂点を $1 \ 1$ にする
②　各行の左右の端は $1$ にする
③　各行の左右の端以外は、自分の右上と左上の数の和にする

というルールのもとで作られています。

例えば二段目の真ん中の $2$ は右上の $1$ と左上の $1$ を足したもの、四段目の真ん中の $6$ は右上の $3$ と左上の $3$ を足したもの、六段目の左から三番目の $15$ は右上の $10$ と左上の $5$ を足したものになっています。

パスカルの三角形は実は二項係数のピラミッドでもある

実はパスカルの三角形

\[ \ \ \ \ \ 1 \ 1 \\ \ \ \ \ 1 \ 2 \ 1 \\ \ \ \ 1 \ 3 \ 3 \ 1 \\ \ \ 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 \\ \ 1 \ 5 \ 10 \ 10 \ 5 \ 1 \\ 1 \ 6 \ 15 \ 20 \ 15 \ 6 \ 1 \]

は

\[ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {}_1 C _0 \ \ {}_1 C _1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ {}_2 C _0 \ \ {}_2 C _1 \ \ {}_2 C _2 \\ \ \ \ \ \ \ {}_3 C _0 \ \ {}_3 C _1 \ \ {}_3 C _2 \ \ {}_3 C _3 \\ \ \ \ \ {}_4 C _0 \ \ {}_4 C _1 \ \ {}_4 C _2 \ \ {}_4 C _3 \ \ {}_4 C _4 \\ \ \ {}_5 C _0 \ \ {}_5 C _1 \ \ {}_5 C _2 \ \ {}_5 C _3 \ \ {}_5 C _4 \ \ {}_5 C _5 \\ {}_6 C _0 \ \ {}_6 C _1 \ \ {}_6 C _2 \ \ {}_6 C _3 \ \ {}_6 C _4 \ \ {}_6 C _5 \ \ {}_6 C _6 \]

です。パスカルの三角形の各行は二項係数そのもの。

つまりパスカルの三角形を書けるようになれば、二項定理の問題が出てきても係数を簡単に計算できるわけです。

例えば $(x+y)^6$ はパスカルの三角形の六段目から

\[ (x+y)^6 = x^6 + 6 x^5 y + 15 x^4 y^2 + 20 x^3 y^3 + 15 x^2 y^4 + 5 x y^5 + y^6 \]

であるとすぐにわかります。