We open our 7th branch.
7番目の支店をオープンする。
branch は枝を意味します。本社から支店が枝のように出てくるというイメージから、支店という意味も持ちます。
逆に本店は head office といいます。
The report was submitted to head office.
レポートが本社に送られた。
headquarter
本社を持つ（動詞）
This company is headquartered in London.
この会社はロンドンに本社がある。
headquarter は is headquartered の受動態で「〜に本社を置いている」と意味します。名詞ではありません。