おうぎ形の弧の長さ、面積、中心角の求め方と公式
おうぎ形は円を切りとったものです。半分だけ切りとれば中心角は $180^\circ$、さらに半分切りとれば中心角は $90^\circ$ になります。ケーキを半分に切ったり、三分の一にしたりするときを想像するとわかりやすい。
おうぎ形の弧の長さと面積は下のように求めます。半径を $r$、中心角を $a^\circ$ とします。
弧の長さ $l$
\[ l = 2 \pi r \frac{ a }{ 360^\circ } \]
面積 $S$
\[ S = \pi r^2 \frac{ a }{ 360^\circ } \]

問題
$(1)$ 半径が $1 \text{cm}$、中心角が $45^\circ$ のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
$(2)$ 半径が $3 \text{cm}$、中心角が $60^\circ$ のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
$(3)$ 半径が $4 \text{cm}$、中心角が $90^\circ$ のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
$(4)$ 半径が $6 \text{cm}$、中心角が $120^\circ$ のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
$(5)$ 半径が $8 \text{cm}$、中心角が $180^\circ$ のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
解答 $(1)$
弧の長さ
\[ l = 2 \pi 1 \frac{ 45^\circ }{ 360^\circ } = \frac{ \pi }{ 4 } \]
面積
\[ S = \pi 1^2 \frac{ 45^\circ }{ 360^\circ } = \frac{ \pi }{ 8 } \]
解答 $(2)$
弧の長さ
\[ l = 2 \pi 3 \frac{ 60^\circ }{ 360^\circ } = \pi \]
面積
\[ S = \pi 3^2 \frac{ 60^\circ }{ 360^\circ } = \frac{ 3 \pi }{ 2 } \]
解答 $(3)$
弧の長さ
\[ l = 2 \pi 4 \frac{ 90^\circ }{ 360^\circ } = 2 \pi \]
面積
\[ S = \pi 4^2 \frac{ 90^\circ }{ 360^\circ } = 4 \pi \]
解答 $(4)$
弧の長さ
\[ l = 2 \pi 6 \frac{ 120^\circ }{ 360^\circ } = 4 \pi \]
面積
\[ S = \pi 6^2 \frac{ 120^\circ }{ 360^\circ } = 12 \pi \]
解答 $(5)$
弧の長さ
\[ l = 2 \pi 8 \frac{ 180^\circ }{ 360^\circ } = 8 \pi \]
面積
\[ S = \pi 8^2 \frac{ 180^\circ }{ 360^\circ } = 32 \pi \]
おうぎ形の中心角の求め方と公式

中心角
\[ a = \frac{ 180 l }{ \pi r } \]
問題
$(1)$ 半径が $3 \text{cm}$、弧の長さが $3\pi \text{cm}$ のおうぎ形の中心角を求めなさい。
$(2)$ 半径が $4 \text{cm}$、弧の長さが $\pi \text{cm}$ のおうぎ形の中心角を求めなさい。
$(3)$ 半径が $2 \text{cm}$、弧の長さが $\frac{\pi}{2} \text{cm}$ のおうぎ形の中心角を求めなさい。
$(4)$ 半径が $3 \text{cm}$、弧の長さが $4\pi \text{cm}$ のおうぎ形の中心角を求めなさい。
$(5)$ 半径が $6 \text{cm}$、弧の長さが $9\pi \text{cm}$ のおうぎ形の中心角を求めなさい。
解答
$(1)$
\[ a = \frac{ 180 \cdot 3 \pi }{ \pi 3 } = 180^\circ \]
$(2)$
\[ a = \frac{ 180 \cdot \pi }{ \pi 4 } = 45^\circ \]
$(3)$
\[ a = \frac{ 180 \cdot 0.5 \pi }{ \pi 2 } = 45^\circ \]
$(4)$
\[ a = \frac{ 180 \cdot 4 \pi }{ \pi 3 } = 240^\circ \]
$(5)$
\[ a = \frac{ 180 \cdot 9 \pi }{ \pi 6 } = 270^\circ \]
平面図形(中学数学)
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おうぎ形の弧の長さ、面積、中心角の求め方と公式
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多角形(三角形、四角形…)の内角の和
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