おうぎ形の弧の長さ、面積、中心角の求め方と公式

おうぎ形は円を切りとったものです。半分だけ切りとれば中心角は $180^\circ$、さらに半分切りとれば中心角は $90^\circ$ になります。ケーキを半分に切ったり、三分の一にしたりするときを想像するとわかりやすい。

おうぎ形の弧の長さと面積は下のように求めます。半径を $r$、中心角を $a^\circ$ とします。

弧の長さ $l$

\[ l = 2 \pi r \frac{ a }{ 360^\circ } \]

面積 $S$

\[ S = \pi r^2 \frac{ a }{ 360^\circ } \]

問題

$(1)$　半径が $1 \text{cm}$、中心角が $45^\circ$ のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

$(2)$　半径が $3 \text{cm}$、中心角が $60^\circ$ のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

$(3)$　半径が $4 \text{cm}$、中心角が $90^\circ$ のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

$(4)$　半径が $6 \text{cm}$、中心角が $120^\circ$ のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

$(5)$　半径が $8 \text{cm}$、中心角が $180^\circ$ のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

解答 $(1)$

弧の長さ

\[ l = 2 \pi 1 \frac{ 45^\circ }{ 360^\circ } = \frac{ \pi }{ 4 } \]

面積

\[ S = \pi 1^2 \frac{ 45^\circ }{ 360^\circ } = \frac{ \pi }{ 8 } \]

解答 $(2)$

弧の長さ

\[ l = 2 \pi 3 \frac{ 60^\circ }{ 360^\circ } = \pi \]

面積

\[ S = \pi 3^2 \frac{ 60^\circ }{ 360^\circ } = \frac{ 3 \pi }{ 2 } \]

解答 $(3)$

弧の長さ

\[ l = 2 \pi 4 \frac{ 90^\circ }{ 360^\circ } = 2 \pi \]

面積

\[ S = \pi 4^2 \frac{ 90^\circ }{ 360^\circ } = 4 \pi \]

解答 $(4)$

弧の長さ

\[ l = 2 \pi 6 \frac{ 120^\circ }{ 360^\circ } = 4 \pi \]

面積

\[ S = \pi 6^2 \frac{ 120^\circ }{ 360^\circ } = 12 \pi \]

解答 $(5)$

弧の長さ

\[ l = 2 \pi 8 \frac{ 180^\circ }{ 360^\circ } = 8 \pi \]

面積

\[ S = \pi 8^2 \frac{ 180^\circ }{ 360^\circ } = 32 \pi \]

おうぎ形の中心角の求め方と公式

中心角

\[ a = \frac{ 180 l }{ \pi r } \]

問題

$(1)$　半径が $3 \text{cm}$、弧の長さが $3\pi \text{cm}$ のおうぎ形の中心角を求めなさい。

$(2)$　半径が $4 \text{cm}$、弧の長さが $\pi \text{cm}$ のおうぎ形の中心角を求めなさい。

$(3)$　半径が $2 \text{cm}$、弧の長さが $\frac{\pi}{2} \text{cm}$ のおうぎ形の中心角を求めなさい。

$(4)$　半径が $3 \text{cm}$、弧の長さが $4\pi \text{cm}$ のおうぎ形の中心角を求めなさい。

$(5)$　半径が $6 \text{cm}$、弧の長さが $9\pi \text{cm}$ のおうぎ形の中心角を求めなさい。

解答

$(1)$

\[ a = \frac{ 180 \cdot 3 \pi }{ \pi 3 } = 180^\circ \]

$(2)$

\[ a = \frac{ 180 \cdot \pi }{ \pi 4 } = 45^\circ \]

$(3)$

\[ a = \frac{ 180 \cdot 0.5 \pi }{ \pi 2 } = 45^\circ \]

$(4)$

\[ a = \frac{ 180 \cdot 4 \pi }{ \pi 3 } = 240^\circ \]

$(5)$

\[ a = \frac{ 180 \cdot 9 \pi }{ \pi 6 } = 270^\circ \]