複素関数（複素解析）の定義と公式まとめ

複素数のべき級数

\[ \sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n \]

オイラーの公式

\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \]

指数関数の定義

$z=x+iy$ とする。

\[ e^{z}=e^{x}(\cos{y}+i\sin{y}) \]

三角関数の定義

\[ \sin{z}=\dfrac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})\\ \cos{z}=\dfrac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})\\ \tan{z}=\dfrac{\sin{z}}{\cos{z}}\\ \cot{z}=\dfrac{\cos{z}}{\sin{z}}\\ \sec{z}=\dfrac{1}{\cos{z}}\\ \csc{z}=\dfrac{1}{\sin{z}} \]

双曲線関数の定義

\[ \sinh{z}=\dfrac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})\\ \cosh{z}=\dfrac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})\\ \tanh{z}=\dfrac{\sinh{z}}{\cosh{z}}\\ \coth{z}=\dfrac{\cosh{z}}{\sinh{z}} \]

複素関数の微分の定義

\[ f' (z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h} \]

コーシー・リーマンの関係式

\[ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}\\ \dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}=-\dfrac{\partial{u}}{\partial{y}} \end{array} \right. \]

ただし

\[ f(z)=u(x,\ y)+v(x,\ y) \]

とする。

コーシーの積分定理

単連結領域 $D$ 上正則関数 $f(z)$ の $D$ 内部の閉曲線 $C$ 上の積分は $0$ になる。すなわち

\[ \oint_C f(z)dz=0 \]

である。

コーシーの積分公式

単連結領域 $D$ 上正則関数 $f(z)$ は

\[ f(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C \dfrac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi \]

と表せる。

グルサーの公式

単連結領域 $D$ 上正則関数 $f(z)$ の $n$ 次導関数は

\[ f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint_C \dfrac{f(\xi)}{(\xi-z)^{(n+1)}}d\xi \]

と表せる。

留数

$f(z)$ が $z=z_0$ において $n$ 位の極を持つとき

\[ \mathrm{Res}\ f(z_0)=\dfrac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\dfrac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\{(z-z_0)^{n}f(z)\} \]

となる。

留数定理

領域 $D$ 上正則関数 $f(z)$ が閉曲線 $C$ の内部に特異点 $z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$ を持つとき

\[ \oint_C f(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^{n}\mathrm{Res}\ f(z_k) \]

となる。

代数学の基本定理

$f(z)\in\mathbb{C}[z]$ について $f(z)=0$ の解が存在する。

リュービル（Liouville）の定理

領域 $|z|\lt\infty$ 上正則関数 $f(z)$ がある定数 $M$ について $|f(z)|\lt M$ であるとき $f(z)$ は定数関数である。すなわち

\[ f(z)=k \]

となる複素数 $k$ が存在する。