共役複素数とはなにか?「共役」の意味と公式をざっくり解説

$z=a+bi$ の共役は $a-bi$ です。特に $b=0$ のとき、つまり複素数 $z$ が実数のとき、その共役は同じ $a$ となります。

例題

次の複素数と共役な複素数を求めなさい。

\[ (1) 3+2i \\ (2) 1-5i \\ (3) -9+4i \\ (4) -7-6i \\ (5) 2 \\ (6) 3i \\ (7) -7i \\ (8) -i \]

解答

\[ (1) 3-2i \\ (2) 1+5i \\ (3) -9-4i \\ (4) -7+6i \\ (5) 2 \\ (6) -3i \\ (7) 7i \\ (8) i \]

(5) に注意。実数の共役は同じです。

共役複素数の性質

例えば $z=3+2i$ の共役複素数 $3-2i$ を考える。

\[ (3+2i)+(3-2i)=6 (3+2i)-(3-2i)=4i \]

となる。つまり複素数とその共役を足すと実数になり、引くと純虚数になる。

  1. 複素数とその共役複素数の和は実数
  2. 複素数とその共役複素数の差は純虚数

公式

$z=a+bi$ とする。

\[ z\cdot\overline{z}=|z|^2=a^2+b^2 \\ \overline{z+\omega}=\overline{z}+\overline{\omega} \\ \overline{z\cdot\omega}=\overline{z}\cdot\overline{\omega} \\ \overline{\left(\frac{z}{\omega}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{\omega}} \]

複素数の共役は分数になっても伝わる。