共役複素数の意味と公式

z=a+biの共役はa-biです。特にb=0のとき、つまり複素数zが実数のとき、その共役は同じaとなります。

例題

次の複素数と共役な複素数を求めなさい。

(1) 3+2i
(2) 1-5i
(3) -9+4i
(4) -7-6i
(5) 2
(6) 3i
(7) -7i
(8) -i

解答

(1) 3-2i
(2) 1+5i
(3) -9-4i
(4) -7+6i
(5) 2
(6) -3i
(7) 7i
(8) i

(5) に注意。実数の共役は同じです。

性質

例えばz=3+2iの共役複素数3-2iを考える。

(3+2i)+(3-2i)=6
(3+2i)-(3-2i)=4i

となる。複素数とその共役を足すと実数になり、引くと純虚数になる。

1. 複素数とその共役複素数の和は実数
2. 複素数とその共役複素数の差は純虚数

公式

z=a+bi とする。

z\cdot\overline{z}=|z|^2=a^2+b^2 \\
\overline{z+\omega}=\overline{z}+\overline{\omega} \\
\overline{z\cdot\omega}=\overline{z}\cdot\overline{\omega} \\
\overline{\left(\frac{z}{\omega}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{\omega}}

複素数の共役は分数で遺伝する。