複素数の累乗根の公式と性質〜n乗根はn個存在する

$0$ を除く複素数の $n$ 乗根は $n$ 個存在し、それらは複素数平面において原点を中心とする円の円周上にあります。

n乗根の公式

\[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \]

のn乗根は

\[ z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left\{\cos\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)\right\} \]

となる。ただし $k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$ です。実際

\[ \left(r^{\frac{1}{n}}\left\{\cos\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)\right\}\right)^n \\ =r\left\{\cos\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)\right\}^n \\ =r\left\{\cos\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)n+i\sin\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi k}{n}\right)n\right\} \\ =r\left\{\cos\left(\theta+2\pi k\right)+i\sin\left(\theta+2\pi k\right)\right\} \\ =r(\cos\theta+i\sin\theta) \]

となって公式が証明される。

公式の偏角から $n$ 乗根は等間隔に存在する。つまり隣りあう点の偏角が等しい。例えば $1$ の $12$ 乗根は時計の文字のように $30^{\circ}$ ずつ離れている。