数学Ⅱ 微分(数学Ⅱ)

微分と導関数の基本(平均変化率と微分係数から公式を理解する)

微分は関数の変化率を求めるものです。変化率(特に平均変化率)とは、x がこれだけ変化したときに y はこれだけ変化するという割合をいいます。

xを時間、yを距離と考えると変化率は速度を表します。変化率が大きいとき、xが少し変化するだけでyは大きく変化します。反対に変化率が小さいとき、xが大きく変化してもyはわずかしか変化しない。

平均変化率

x が a から b まで変化したときに y がどのくらい変化したか。その変化の具合が関数の平均変化率です。下図のように、変化率は y の変化量を x の変化量で割った値です。

平均変化率のグラフ

変化率そのものは簡単に求まります。x を時間、y を距離と考えると、平均変化率は平均速度そのものです。

平均変化率を求める

「y の変化量 ÷ x の変化量」で関数の平均変化率、すなわち平均速度がわかります。

グラフの抽象的な理解

下図のように b 点を a 点に近づけると、平均変化率は a での変化率に近づきます。

平均変化率の極限

b と a が遠いと、a から b までの平均変化率はかなり大雑把な値になります。a と b の間隔を短くすれば、平均変化率の「精度」が上がって、ついには a 地点での変化率になるでしょう。

x=3の変化率

x=aの変化率

例題

導関数

導関数の定義

導関数の例

一次関数と定数の導関数

一般形

導関数から変化率を求める

変化率