接線と法線の方程式：解き方と問題

接線の方程式は接線の傾きを求めればわかります．接線の傾きはその点における微分係数に一致します．例えば $y＝x^{2}$ の $(3,\ 9)$ における接線の方程式を求めてみましょう．

$y＝x^{2}$ を微分すると $y\prime=2x$ であり， $(3,\ 9)$ における微分係数は $6$ となります．よって接線の方程式は

\[y=6(x-3)+9\]

すなわち $y=6x-9$ です．

接線の方程式の基本問題

次の曲線の各点における接線の方程式を求めなさい．

$(1)$　$y＝x^{2}$　$(1,\ 1)$

$(2)$　$y=x^{2}+3$　$(2,\ 7)$

$(3)$　$y=2x^{2}-x+1$　$(-1,\ 4)$

$(4)$　$y=-3x^{2}+2x-3$　$(1,\ -4)$

答

$(1)$　$y\prime=2x$ であるから $(1,\ 1)$ における接線の傾きは $2\cdot{1}=2$ である．よって接線の方程式は

\begin{split} y&=&2(x-1)+1\\ &=&2x-1 \end{split}

$(2)$　$y\prime=2x$ であるから $(2,\ 7)$ における接線の傾きは $2\cdot{2}=4$ である．よって接線の方程式は

\begin{split} y&=&4(x-2)+7\\ &=&4x-1 \end{split}

$(3)$　$y\prime=4x-1$ であるから $(-1,\ 4)$ における接線の傾きは $4\cdot(-1)=-4$ である．よって接線の方程式は

\begin{split} y&=&-4(x-(-1))+4\\ &=&-4x \end{split}

$(4)$　$y\prime=-6x+2$ であるから $(1,\ -4)$ における接線の傾きは $-6\cdot{1}=-6$ である．よって接線の方程式は

\begin{split} y&=&-6(x-1)+(-4)\\ &=&-6x+2 \end{split}

法線の方程式の問題

次の曲線の各点における法線の方程式を求めなさい．

$(1)$　$y=x^{2}$　$(3,\ 9)$

$(2)$　$y=x^{2}+x+3$　$(-2,\ 5)$

$(3)$　$y=2x^{3}-x^{2}-2$　$(1,\ -1)$

答

$(1)$　$y\prime=2x$ だから $(3,\ 9)$ における法線の傾きは $-\dfrac{1}{2\cdot{3}}=-\dfrac{1}{6}$ となる．

\begin{split} y&=&-\dfrac{1}{6}(x-3)+9\\ &=&-\dfrac{x}{6}+\dfrac{19}{2} \end{split}

$(2)$　$y\prime=2x+1$ だから $(-2,\ 5)$ における法線の傾きは $-\dfrac{1}{2\cdot{(-2)}+1}=\dfrac{1}{3}$ となる．

\begin{split} y&=&\dfrac{1}{3}(x-(-2))+5\\ &=&\dfrac{x}{3}+\dfrac{17}{3} \end{split}

$(3)$　$y\prime=6x^{2}-2x$ だから $(1,\ -1)$ における法線の傾きは $-\dfrac{1}{6\cdot{1}^{2}-2\cdot{1}}=-\dfrac{1}{4}$ となる．
[
y&=&-\dfrac{1}{4}(x-1)+(-1)\
&=&-\dfrac{x}{4}-\dfrac{3}{4}
]

接線と点の関係の練習問題

次の曲線において各点を通る接線の方程式と接点の座標を求めなさい．

$(1)$　$y=x^{2}$　$(3,\ -16)$

$(2)$　$y=-2x^{2}+3x-1$　$(0,\ 7)$

$(3)$　$y=x^{3}+x+1$　$(-1,\ -5)$

解答

$(1)$　$y=x^{2}$ を微分すると $y\prime=2x$ である．接点の $x$ 座標を $a$ とすると，接線の傾きは $2a$ となる．接線は $(a,\ a^{2})$ と $(3,\ -16)$ を通るから

\[ 2a=\dfrac{a^{2}-(-16)}{a-3} \]

が成り立つ．

\[ 2a=\dfrac{a^{2}-(-16)}{a-3}\\ a^{2}+16=2a(a-3)\\ a^{2}+16=2a^{2}-6a\\ a^{2}-6a-16=0\\ (a-8)(a+2)=0\\ a=-2,\ 8 \]

よって接点の座標は $(-2,\ 4)$ と $(8,\ 64)$ となる．それぞれの点における接線の方程式を求める．ここで接線の傾きは $2a$ であることを思い出そう．

$(-2,\ 4)$ のとき，すなわち $a=-2$ のとき，この点の接線の傾きは $2\cdot{(-2)}=-4$ であるから接線の方程式は

\begin{split} y&=&-4(x-(-2))+4\\ &=&-4x+12 \end{split}

となる．また $(8,\ 64)$ のとき，すなわち $a=8$ のとき，この点の接線の傾きは $2\cdot{8}=16$ であるから接線の方程式は

[
y&=&16(x-8)+64\
&=&16x-64
]
となる．

$(2)$　$y=-2x^{2}+3x-1$ を微分すると $y\prime=-4x+3$ となる．接点の $x$ 座標を $a$ とすると，接線の傾きは $-4a+3$ となる．接点は $(a,\ -2a^{2}+3a-1)$ と $(0,\ 7)$ を通るから

\[ -4a+3=\dfrac{-2a^{2}+3a-1-7}{a-0} \]

が成り立つ．

\[ -4a+3=\dfrac{-2a^{2}+3a-1-7}{a-0}\\ -2a^{2}+3a-8=a(-4a+3)\\ -2a^{2}+3a-8=-4a^{2}+3a\\ 2a^{2}-8=0\\ a^{2}=4\\ a=\pm{2} \]

よって接点の座標は $(2,\ -3)$ と $(-2,\ -15)$ となる．

接点が $(2,\ -3)$ のとき，傾きは $-4\cdot{2}+3=-5$ であり，接線の方程式は

\begin{split} y&=&-5(x-2)+(-3)\\ &=&-5x+7 \end{split}

となる．また接点が $(-2,\ -15)$ のとき，傾きは $-4\cdot{(-2)}+3=11$ であり，接線の方程式は

\begin{split} y&=&11(x-(-2))+(-15)\\ &=&11x+7 \end{split}

となる．

$(3)$　$y=x^{3}+x+1$ を微分すると $y\prime=3x^{2}+1$ となる．接点の $x$ 座標を $a$ とすると，接線の傾きは $3a^{2}+1$ となる．接線は $(a,\ a^{3}+a+1)$ と $(-1,\ -5)$ を通るから

\[ 3a^{2}+1=\dfrac{a^{3}+a+1-(-5)}{a-(-1)}\\ a^{3}+a+6=(a+1)(3a^{2}+1)\\ a^{3}+a+6=3a^{3}+3a^{2}+a+1\\ 2a^{3}+3a^{2}-5=0\\ (a-1)(2a^{2}+5a+5)=0 \]

となり $a=1$ であるとわかる．このとき接点は $(1,\ 1^{3}+1+1)=(1,\ 3)$ であり，接線の傾きは $3\cdot{1}^{2}+1=4$ だから，接線の方程式は

\begin{split} y&=&4(x-1)+3\\ &=&4x-1 \end{split}

となる．