三次元ベクトルの外積の成分表示

ベクトル $\mathbf{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3),\ \mathbf{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$ の外積 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ を成分で表すと

\[ \mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_2 b_3-a_3 b_2,\ a_3 b_1-a_1 b_3,\ a_1 b_2-a_2 b_1) \]

となる。

正規直交系の基底ベクトルの外積

正規直交系の基底ベクトルとは前回説明した右手系三次元座標の $x,\ y,\ z$ 軸上の単位ベクトルで $\mathbf{e_1},\ \mathbf{e_2},\ \mathbf{e_3}$ で表す。

参照：右手系3次元座標とベクトルの外積の定義と公式

三次元正規直交系の基底ベクトル

\[ \mathbf{e_1}=(1,\ 0,\ 0)\\ \mathbf{e_2}=(0,\ 1,\ 0)\\ \mathbf{e_3}=(0,\ 0,\ 1) \]

基底ベクトルの外積について次の公式が成り立つ。

\[ \mathbf{e_1}\times\mathbf{e_2}=\mathbf{e_3}\\ \mathbf{e_2}\times\mathbf{e_3}=\mathbf{e_1}\\ \mathbf{e_3}\times\mathbf{e_1}=\mathbf{e_2} \]

順番に気をつける。外積は交換法則が成り立たず、交換するとマイナスがつく。

成分表示の証明

同じベクトルの外積がゼロ、外積の交換はマイナスがつくこと、そして上の正規直交系の基底ベクトルの外積公式から

\[ \mathbf{a}\times\mathbf{b} \]

\[ =(a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_3})\times(b_1\mathbf{e_1}+b_2\mathbf{e_2}+b_3\mathbf{e_3}) \]

\[ =a_1 b_1\mathbf{e_1}\times\mathbf{e_1}+a_1 b_2\mathbf{e_1}\times\mathbf{e_2}+a_1 b_3\mathbf{e_1}\times\mathbf{e_3}\\ +a_2 b_1\mathbf{e_2}\times\mathbf{e_1}+a_1 b_2\mathbf{e_2}\times\mathbf{e_2}+a_2 b_3\mathbf{e_2}\times\mathbf{e_3}\\ +a_3 b_1\mathbf{e_3}\times\mathbf{e_1}+a_1 b_2\mathbf{e_3}\times\mathbf{e_2}+a_3 b_3\mathbf{e_3}\times\mathbf{e_3} \]

\[ =0+a_1 b_2\mathbf{e_1}\times\mathbf{e_2}+a_1 b_3\mathbf{e_1}\times\mathbf{e_3}\\ +a_2 b_1\mathbf{e_2}\times\mathbf{e_1}+0+a_2 b_3\mathbf{e_2}\times\mathbf{e_3}\\ +a_3 b_1\mathbf{e_3}\times\mathbf{e_1}+a_1 b_2\mathbf{e_3}\times\mathbf{e_2}+0 \]

\[ =0+a_1 b_2\mathbf{e_3}-a_1 b_3\mathbf{e_2}\\ -a_2 b_1\mathbf{e_3}+0+a_2 b_3\mathbf{e_1}\\ +a_3 b_1\mathbf{e_2}-a_1 b_2\mathbf{e_1}+0 \]

\[ =(a_2 b_3-a_3 b_2)\mathbf{e_1}+(a_3 b_1-a_1 b_3)\mathbf{e_2}+(a_1 b_2-a_2 b_1)\mathbf{e_3} \]

となる。