高校数学Ⅲ　合成関数の微分

例えば $y=(3x^{2}+2x+1)^{3}$ という関数は $u=3x^{2}+2x+1$ とすると $y=u^{3}$ となります。一見複雑な関数でも中身の一部を $u$ と置き換えると簡単になる。このように関数を $2$ つの関数の合成とみなすとき、この関数を合成関数といいます。

つまり

\[ y=(3x^{2}+2x+1)^{3} \]

を

\[ \left\{ \begin{array}{l} y=u^3\\ u=3x^{2}+2x+1 \end{array} \right. \]

と分解するわけです。

合成関数の微分公式

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \]

この公式を使って $y=(3x^{2}+2x+1)^{3}$ を微分すると

\[ \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \\ &= u^{2}\cdot{(6x+2)} \\ &= (3x^{2}+2x+1)^{2}(6x+2) \end{align*} \]

となります。合成関数の微分公式を知っていれば $(3x^{2}+2x+1)^{3}$ を展開しなくても微分できるというわけです。

補足

合成関数の微分として特に

\[ \{f(ax+b)\}' =af' (ax+b)\\ \]

が成り立ちます。

三角関数、指数関数、対数関数などが入った関数の微分

上の公式を使っていろいろな関数を微分します。

$y=e^{3x}$

$u=2x$ とすると

\[ \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \\ &= e^{u}\cdot{2} \\ &= 2e^{2x} \end{align*} \]

$y=\log|\tan{x}|$

$u=\tan{x}$ とすると

\[ \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \\ &= \frac{1}{u}\cdot{\frac{1}{\cos^{2}{x}}} \\ &= \frac{1}{\sin{x}\cos{x}} \end{align*} \]

$y=(\log{x})^8$

$u=\log{x}$ とすると

\[ \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \\ &= 8u^{7}\cdot{\frac{1}{x}} \\ &= \frac{8(\log{x})^{7}}{x} \end{align*} \]

特に最初の指数関数の微分は覚えるべき公式です。

\[ (e^{ax})' =ae^{ax} \]