ガンマ関数とベータ関数の定義と性質

ガンマ関数は数学のあらゆる分野で使われる重要な関数である。

ガンマ関数 $\Gamma(p)$ の定義 \[ \Gamma(p)=\int_{0}^{\infty}x^{p-1}e^{-x}dx\ \ (p > 0) \]

本来ガンマ関数は複素関数として定義されるが、ここでは実数上の関数として定義する。下の性質からわかるようにガンマ関数は自然数の階乗の一般化である。

ガンマ関数 $\Gamma(p)$ の性質 \[ (1)\ \ \Gamma(p+1)=p\Gamma(p) \\ (2)\ \ \Gamma(1)=1 \\ (3)\ \ \Gamma(n+1)=n!\ \ (n \in \mathbb{N}) \\ (4)\ \ \Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi} \\ (5)\ \ \Gamma(\dfrac{n}{2}) \left\{ \begin{array}{l} (\dfrac{n}{2}-1)! && (n:\mbox{偶数}) \\ \left(\dfrac{n}{2}-1\right)\left(\dfrac{n}{2}-2\right)\left(\dfrac{n}{2}-3\right)\cdot\cdots\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\pi} && (n:\mbox{3以上の奇数}) \end{array} \right. \]

ガンマ関数は $0$ より大きい実数について連続であり、自然数の階乗という離散的な関数を連続化したものと考えられる。

ガンマ関数の性質の証明 $(1)\ \ \Gamma(p+1)=p\Gamma(p)$

上の式はガンマ関数の最も重要な性質を示している。その重要性に反して証明は比較的容易である。

\begin{eqnarray}
\Gamma(p+1)&=&\int_{0}^{\infty}x^{(p+1)-1}e^{-x}dx\
&=&\int_{0}^{\infty}x^{p}e^{-x}dx\
&=&\int_{0}^{\infty}x^{p}(-e^{-x})' dx\
&=&\left[-x^{p}e^{-x}\right]^{\infty}{0}-\int{0}^{\infty}px^{p-1}(-e^{-x})dx\
&=&-\int_{0}^{\infty}px^{p-1}(-e^{-x})dx\
&=&-\int_{0}^{\infty}px^{p-1}(-e^{-x})dx\
&=&p\int_{0}^{\infty}x^{p-1}e^{-x}dx\
&=&p\Gamma(p)
\end{eqnarray}

ガンマ関数の性質の証明 $(2)\ \ \Gamma(1)=1$

\begin{eqnarray}
\Gamma(1)&=&\int_{0}^{\infty}x^{0}e^{-x}dx\
&=&\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx\
&=&\left[-e^{-x}\right]^{\infty}{0}\
&=&\lim{c\to\infty}\left[-e^{-x}\right]^{c}{0}\
&=&\lim{c\to\infty}(1-e^{-c})\
&=&1
\end{eqnarray}

ガンマ関数の性質の証明 $(3)\ \ \Gamma(n+1)=n!\ \ (n \in \mathbb{N})$

上の $(1),\ (2)$ を使う。

\begin{eqnarray}
\Gamma(n+1)&=&n\Gamma(n)\
&=&n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot\Gamma(1)\
&=&n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot1\
&=&n!
\end{eqnarray}

※公式 $(4),\ (5)$ の証明は後日追記

ベータ関数の定義と性質

ベータ関数 $B(p,\ q)$ の定義 \[ B(p,\ q)=\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx\ \ (p > 0,\ q > 0) \]

ベータ関数とガンマ関数の違う点は変数の個数。ガンマ関数は $p$ のみだが、ベータ関数は $p,\ q$ である。

ベータ関数 $B(p,\ q)$ の性質 \[ B(p,\ q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} \]

※ベータ関数の性質の証明は後日追記