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有理数と無理数の意味と違い〜有理数とは分数にできる数のこと|実数の分類

有理数とは分数になる数です。無理数とはそうでない実数です。より正確に表現すると、有理数とは「分母と分子がともに整数の分数」にできる数です。

意味
有理数 分数にできる数
無理数 分数にできない数

例えば 1 は 1/1 と分数にできるため有理数です。0.8 は 4/5 と変形できるから、やはり有理数。マイナスがついても同じで、-1.4 は -7/5 となるから有理数。

0 も有理数です。0 は 0/1 と同じなので有理数。有理数という名前はかしこまっていかにも難しそうですが、結局のところ分数でしかありません。そして有理数かどうかは、プラス、マイナス、0 も関係ない。

有理数

無理数とはなにか?

無理数とは有理数でない数です。つまり○/○という分数にできない数を無理数といいます。例えばルート 2 は分数にできないので無理数。「ルート 2 が分数にできない」という命題はとても有名なので、大学受験生は証明できるようにしてください。

ルート 3 も無理数です。ルート 4 は 2 なので有理数。ルート 5 は無理数。ルート 6 も無理数。

円周率も無理数です。一般に「無限に、しかも無限に不規則に続く小数」は無理数です。無限に続く小数であっても、どこかで規則性が生まれたら無理数になりません。ここが数学的に重要なポイントになります。

☆差がつくポイント

小数点以下に規則性のある小数は有理数になってしまう。逆に、すべての無理数は小数にしたときに、小数点以下が必ず不規則になる。

よくある質問

質問:0 は無理数か?

回答:0 は 0/1 という分数にできるから有理数。

質問:対数関数ででてくる e は有理数?

回答:e は円周率と同じで無理数。e は超越数といわれる「無理数の中の無理数」です。

実数の分類

実数は下図のように分類されます。

実数の分類

実数は大きく有理数と無理数に分けられます。有理数はさらに整数とそれ以外に分けられ、整数は自然数とそれ以外に分けられます。

範囲の広いものから順に考えるとこうなります。

それぞれは英語のアルファベットで表します。

表現
複素数 C
実数 R
有理数 Q
整数 Z
自然数 N

このアルファベットを紹介したのは理由があります。有理数は Q で表しますが、この Q は quotient の Q です。quotient は「商」つまり「割り算」を意味する英単語です。まさに有理数が分数そのものであることが、この Q を通じて理解できるでしょう。

有理数と無理数の演算

センター試験の数学 ⅠA では「無理数と無理数を足すと必ず無理数になる」といった正誤問題がしばしば出ます。

○ 有理数+有理数=有理数
○ 有理数+無理数=無理数
× 無理数+無理数=無理数

無理数と無理数を足すと無理数になるように思われますが、実際は

(-√2) + (√2) = 0

という式から誤りだとわかります。

監修:坂本真一郎(東京大学理学部数学科卒、専門は代数幾何学)