y = 2x + 1 のように y = ax + b という形の関数を一次関数という。
次の関数はすべて一次関数である。
y = x + 5
y = 3x + 7
y = 6x - 9
y = 100x + 200
y = -5x + 1
y = 2x + 1 は x = 0 のとき y = 1 となり、x = 1 のとき y = 3 となる。
2・0 + 1 = 1
2・1 + 1 = 3
一次関数 y = 2x + 1 の x にいろいろな値を入れて x と y の関係を調べてみよう。
| x | y |
|---|---|
| -3 | -5 |
| -2 | -3 |
| -1 | -1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
となる。
上の表で出てきた値を図にしてみよう。
点を結び、線にする。
これを一次関数 y = 2x + 1 のグラフという。一次関数のグラフは二つのポイントがある。
①一次関数のグラフは直線である
②二つの点がわかればグラフがわかる
上の赤い直線も (0, 1) と (1, 3) の二点を結んでいる。
y = 3x - 2 を書いてみよう。二つの点がわかればグラフがわかるので、二つの点を適当に求める。
例えば x に 1 と 2 を入れると
| x | y |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
となる。つまりこのグラフは (1, 1) と (2, 4) の二点を通る。
この二点を結ぶと、y = 3x - 2 のグラフになる。
$y=\dfrac{2}{3}x-1$ という一次関数のグラフを書いてみよう。前問と同じように二つの点を求めるが、なるべく $y$ の値が整数になるようにする。例えば $x$ に $1$ を入れてしまうと
\[ y=\dfrac{2}{3}\cdot{1}-1=-\dfrac{1}{3} \]
となってしまい、座標に点をプロットしにくくなってしまう。$(1,\ -\dfrac{1}{3})$ という点を無理にとってもグラフは不正確になる。そこで $x=3$ としてみる。この $3$ は $y=\dfrac{2}{3}x-1$ の分母の $3$ である。
\[ y=\dfrac{2}{3}\cdot{3}-1=1 \]
きれいな数になった。つまりこのグラフは $(3,\ 1)$ を通る。グラフを書くにはあともう一つの点が必要だが、ここでは $x=0$ をとってみよう。
\[ y=\dfrac{2}{3}\cdot{0}-1=-1 \]
やはりきれいな数になった。整理すると
\begin{array}{|c|c|} \hline x&y\\ \hline 0&-1\\ 3&1\\ \hline \end{array}
となる。結局このグラフは $(0,\ -1)$ と $(3,\ 1)$ の二点を通る。
二点を結ぶと
グラフが完成する。
直線のグラフと $y$ 軸の交点の座標を切片という。例えば
の切片は、グラフと $y$ 軸が $y=1$ で交わっているから $1$ である。実はグラフの切片は $y=ax+b$ の $b$ に等しい。
$y=3x+5$ の切片は $5$
$y=-2x+7$ の切片は $7$
$y=x-4$ の切片は $-4$
…
本当に合っているか確かめよう。$y=3x+5$ と $y=-2x+7$ と $y=x-4$ のグラフは
となるため、切片が合っていることがわかる。
例えば次の三つのグラフを考える。
$y=x+1$
$y=2x+1$
$y=3x+1$
$y=ax+b$ の $a$ が大きくなればなるほど、グラフの傾きが急になっていることがわかる。このことから $y=ax+b$ の $a$ を傾きという。
例えば
$y=3x+5$ の傾きは $3$
$y=-2x+7$ の傾きは $-2$
$y=x-4$ の傾きは $1$
…
である。