不等式の性質と一次不等式の解き方（高校数学1）

不等式の基本公式 1

\[ a \gt b \to a+c \gt b+c \\ a \gt b \to a-c \gt b-c \]

\[ a \geqq b \to a+c \geqq b+c \\ a \geqq b \to a-c \geqq b-c \]

例

\[ 5 \gt 3 \to 5+2 \gt 3+2 \to 7 \gt 5 \\ 9 \geqq 4 \to 9+7 \geqq 4+7 \to 16 \geqq 11 \]

不等式の基本公式 2

\[ a \gt b, \mbox{　} c \gt 0 \to ac \gt bc \\ a \gt b, \mbox{　} c \gt 0 \to \dfrac{a}{c} \gt \dfrac{b}{c} \]

\[ a \geqq b, \mbox{　} c \gt 0 \to ac \geqq bc \\ a \geqq b, \mbox{　} c \gt 0 \to \dfrac{a}{c} \geqq \dfrac{b}{c} \]

要注意の公式

\[ a \gt b, \mbox{　} c \lt 0 \to ac \lt bc \\ a \gt b, \mbox{　} c \lt 0 \to \dfrac{a}{c} \lt \dfrac{b}{c} \]

\[ a \geqq b, \mbox{　} c \lt 0 \to ac \leqq bc \\ a \geqq b, \mbox{　} c \lt 0 \to \dfrac{a}{c} \leqq \dfrac{b}{c} \]

一次不等式の解き方

1. 変数は変数、数は数でまとめる
2. 変数の係数が正になるように調整する

一次不等式の基本形

\begin{eqnarray} 2x & \geqq & 6 \\ x & \geqq & 3 \end{eqnarray}

変数と数が分かれている時は、変数についている係数で両辺を割ります。

一次不等式の応用（非分離型）

\begin{eqnarray} 2x+1 & \geqq & 7 \\ 2x & \geqq & 7-1 \\ 2x & \geqq & 6 \\ x & \geqq & 3 \end{eqnarray}

解き方のルール１にしたがって、1を7がある右辺に移す。変数と数が左辺と右辺に分かれたところで割る。

一次不等式の応用（マイナス係数）

変数にマイナスがついているときは、解き方のルール２にしたがって変数を移し、マイナス係数をプラス係数にする。

\begin{eqnarray} -2x & \geqq & 6 \\ -6 & \geqq & 2x \\ -3 & \geqq & x \end{eqnarray}

下は間違っている。

\begin{eqnarray} -2x & \geqq & 6 \\ x & \geqq & -3 \end{eqnarray}