完全数とは?完全数の定義・性質・一覧〜10000までの完全数は6、28、496、8128のみ
完全数とは、その数の真の約数の和がその数になるような数です。例えば6は完全数です。
6の約数…1,2,3,6
1 + 2 + 3 = 6
6の約数のうち、自分自身である6を除いた1,2,3を足すと6になります。ヒッポのアウグスティヌスの「神の国」は、神が人類を6日間で作った(旧約聖書)のは、6が完全数だからだとしています。
一覧(10000まで)
10000までの完全数は4つしかありません。
6
28
496
8128
それぞれが完全数であることを確かめましょう。
6の約数…1,2,3,6
1+2+3=6
28の約数…1,2,4,7,14,28
1+2+4+7+14=28
496の約数
1,2,4,8,16,
31,62,124,248
1+2+4+8+16+
31+62+124+248=496
8128の約数
1,2,4,8,16,
32,64,127,254,508,
1016,2032,4064
1+2+4+8+16+
32+64+127+254+508+
1016+2032+4064=8128
8128の次の完全数は33550336ですが、桁が多くなるため省略しました。
性質
上の完全数を見て、ある種の規則性がわかったでしょうか?例えば一の位に注目すると6と8が交互に続いています。実は完全数の一の位は6か8になりますが、交互に続くとは限りません
8128の約数を見ると、2のべき乗がたくさん並んでいることの気づきます。完全数は2のべき乗と何か関係がありそうです。
完全数についてよく知られている性質は次の通りです。
- 一の位は6または8
- 完全数は2p(2p+1-1)と表される
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