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数学ダイエットのために代数幾何学と可換環論を復習した

お金にならないけど、可換環を少し復習しました。

2023/2/26

可換環の素イデアルの集合は、イデアルの包含関係によって位相構造をとります。しかしハウスドルフ空間ではない。

代数的閉体上の代数多様体、特にアフィン多様体を考えると、座標は多項式環の極大イデアルの対応している。だから、多項式環をイデアルで割った環(座標環)の極大イデアルと対応する。

幾何学な空間は、多項式の集合における構造と対応する

これは、大学で最も印象に残っている。

代数幾何学ではこの

  • 幾何学的な空間
  • 関数の構造

のペアをスキームと呼んでいる。そして、スキームの射のところを読んでいたら、寝ていた。

◇◇◇

ここから、私の妄想が始まります。読む価値はゼロです。

そもそも素イデアルは素数の一般化だった。極大イデアルは素イデアル。

整数は単項イデアル整域で、極大イデアルと素イデアルは一致します。だからこそ、整数は「どことなく不連続な感じ」です。整数を稠密にしていくと実数になりますが、実数は可換環でなく体です。

実数をさらに拡大して複素数にする。すると、座標は複素数上の一変数多項式環の極大イデアルに一対一対応します。2 も極大イデアル x-2 に対応します。

極大イデアルも素イデアルもへったくれもない体の元が、多項式環によって極大イデアルと対応されてしまう。体を拡大した多項式環の極大イデアルという大きな構造が、座標と対応する。

  • Z における 2 は極大イデアル
  • C における 2 はイデアルでもなんでもない
  • C[X] における x-2 は極大イデアル

ここが点という概念の面白いところ。

2 と x-2 を同じものとみなせたら、代数幾何学はもっと深くわかるに違いない。だけど、数学を部分的に諦めた私はこれ以上深いところまでいかない。

今年は代数幾何学と複素解析をもう一度勉強しようと思う。昨年は確率論を復習して、代数や解析は完全に放置していた。

◇◇◇

たまに数学を勉強しないと頭がにぶっちゃう。プログラミングとお金は、頭を使うけど、やっぱり数学は本格的に使う。数学という学問はこの世で最も頭を使う。

数学の思考はエネルギーの消費量がすごい。なので、数学はダイエットに向いています。

この三年で体重が二キログラム増えた。正確に言うと

45kg → 47kg

になった。身長が 160cm くらいなので、50kg にはなりたくない。

しかし数学を復習するとあっという間に体重が減ることは経験でわかっています。なので、時間があったら数学ダイエットして 45kg に戻す。

「体重が落ちない〜!」

っていう人は数学を勉強するといいよ!

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