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関数の平均変化率:微分を勉強する前に知るべきこと

$x^2 - 5x - 6$ の $(4,\ -10)$ から $(8,\ 18)$ までの変化は

$x: 4 \ \to \ 8$
$y: -10 \ \to \ 18$

です.$x$ の変化量は $4$,$y$ の変化量は $28$ だから,平均的な変化率は

\[ \frac{ 28 }{ 4 } = 7 \]

となります.

一般に $x$ が $a$ から $b$ まで動くときの $y = f(x)$ の変化量は

\[ f(b) - f(a) \]

\[ \frac{ f(b) - f(a) }{ b - a } \]

は平均的な変化率をあらわします.平均変化率は $(a,\ f(a))$ と $(b,\ f(b))$ を結ぶ直線の傾きに等しくなります.

$x$ を時間,$y$ を位置と考えると,平均変化率は物体の平均速度になります.速度とは位置の瞬間的な変化率です.

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