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楕円の定義:焦点からの距離の和が一定になる二次曲線

平面上に $F$ と $G$ の $2$ 点をとり,任意の点 $P(x,\ y)$ と $F,\ G$ の距離を考えます.

距離の和 $PF + PG$ が一定になるとき $P$ は楕円を描きます.

楕円の定義 $2$ 点からの距離の和が一定になる曲線

楕円における $F$ と $G$ を焦点といいます.

軌跡の方程式

$F(e,\ 0)$ と $G(-e,\ 0)$ からの距離の和が $2a$ になる点の軌跡は

\[ PF = \sqrt{ (x - e)^2 + y^2 } \]

\begin{split} PG &= \sqrt{ (x - (-e))^2 + y^2 } \\ &= \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 } \end{split}

だから

\[ \sqrt{ (x - e)^2 + y^2 } + \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 } = 2a \]

となります.この式は軌跡をあらわしますが,ルートの和が使いにくいためさらに変形します.

一般の方程式

\[ \sqrt{ (x - e)^2 + y^2 } + \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 } = 2a \\ \sqrt{ (x - e)^2 + y^2 } = 2a - \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 } \\ (x - e)^2 + y^2 = ( 2a - \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 } )^2 \\ (x - e)^2 + y^2 = 4a^2 + (x + e)^2 + y^2 - 4a \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 } \\ (x - e)^2 = 4a^2 + (x + e)^2 - 4a \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 } \\ 4a \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 } = 4a^2 + (x + e)^2 - (x - e)^2 \\ 4a \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 } = 4a^2 + 4ex \\ a \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 } = a^2 + ex \\ a \sqrt{ x^2 + 2ex + e^2 + y^2 } = a^2 + ex \\ a^2 ( x^2 + 2ex + e^2 + y^2 ) = a^4 + 2 a^2 ex + e^2 x^2 \\ a^2 x^2 + 2 a^2 ex + a^2 e^2 + a^2 y^2 = a^4 + 2 a^2 ex + e^2 x^2 \\ a^2 x^2 + a^2 e^2 + a^2 y^2 = a^4 + e^2 x^2 \\ ( a^2 - e^2 ) x^2 + a^2 y^2 = a^4 - a^2 e^2 \\ ( a^2 - e^2 ) x^2 + a^2 y^2 = a^2 ( a^2 - e^2 ) \\ \]

$b^2 = a^2 - e^2$ とすると,

\[ b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 \\ \frac{ x^2 }{ a^2 } + \frac{ y^2 }{ b^2 } = 1 \]

となります.これを楕円の方程式といい,問題を解くときは $a$ と $b$ の値が重要になります.

楕円の例

$(4,\ 0)$ と $(-4,\ 0)$ からの距離の和が $10 = 2 \cdot 5$ になる点の軌跡は

となります.$a$ は $10 \div 2 = 5$ で,$b$ は

\[ b = \sqrt{ 5^2 - 4^2 } = 3 \]

だから楕円の方程式は

\[ \frac{ x^2 }{ 5^2 } + \frac{ y^2 }{ 3^2 } = 1 \]

楕円の方程式と $a^2 - e^2$

軌跡の方程式から一般の方程式にする過程で $b^2 = a^2 - e^2$ としました.これは $a^2 - e^2$ を正と仮定しています.

焦点の座標は $(e,\ 0),\ (-e,\ 0)$ だから二点の最短距離は $2e$ で,焦点からの距離の和 $2a$ は必ず $2e$ 以上になります.

\[ 2e \leqq 2a \]

$2a$ が $2e$ に等しいときの軌跡は原点なので,楕円を考えるときは

\[ 2e < 2a \\ e < a \\ 0 < a^2 - e^2 \]

とします.

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