楕円の方程式から焦点の座標を求める

楕円の方程式が

\[ \frac{ x^2 }{ a^2 } + \frac{ y^2 }{ b^2 } = 1 \]

のとき，焦点の座標は

\[ \left\{ \begin{array}{l} (e,\ 0),\ (-e,\ 0) \quad (b < a) \\ (0,\ e),\ (0,\ -e) \quad (a < b) \end{array} \right. \]

となります．$e$ は

\[ e = \sqrt{ | a^2 - b^2 | } \]

焦点の座標を求める例題

$(1) \quad \dfrac{ x^2 }{ 49 } + \dfrac{ y^2 }{ 16 } = 1$

$e = \sqrt{ 49 - 16 } = \sqrt{ 33 }$ だから，焦点の座標は

\[ (\sqrt{ 33 },\ 0),\ (-\sqrt{ 33 },\ 0) \]

$(2) \quad \dfrac{ x^2 }{ 13^2 } + \dfrac{ y^2 }{ 5^2 } = 1$

$e = \sqrt{ 13^2 - 5^2 } = \sqrt{ 169 - 25 } = \sqrt{ 144 } = 12$ だから，焦点の座標は

\[ (12,\ 0),\ (-12,\ 0) \]

$(3) \quad \dfrac{ x^2 }{ 6 } + \dfrac{ y^2 }{ 15 } = 1$

$e = \sqrt{ | 6 - 15 | } = \sqrt{ 9 } = 3$ で $6 < 15$ だから，焦点の座標は

\[ (0,\ 3),\ (0,\ -3) \]