関数の極大点・極小点とはなにか？微分から極大値と極小値を求めるやり方

$x^3 - 6x^2 - 15x + 8$ のグラフは山と谷があり，山のピークを極大点，谷のピークを極小点といいます．極大点は微分係数がマイナスからプラスに変わる点で，その $x$ 座標は増減表からわかります．極大点と極小点の問題を解くときは増減表が必要になります．

極大点と極小点の座標を求めるには

1. 導関数を計算する
2. 導関数の値が $0$ になる $x$ を求める
3. もとの関数の増減表をつくる

のステップをふみます．

$x^3 - 6x^2 - 15x + 8$ の導関数は

\begin{split} f^{\prime}(x) &= 3x^2 - 12x - 15 \\ &= 3(x^2 - 4x - 5) \\ &= 3(x + 1)(x - 5) \end{split}

で，その値が $0$ になる $x$ の値は $-1,\ 5$ です．導関数は二次関数でグラフは下図になります．

もとの関数の増減表は

\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 5 & \cdots \\ \hline f^{\prime}(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 16 & \searrow & -92 & \nearrow \end{array}

で，極大点は $(-1,\ 16)$，極小点は $(5,\ -92)$ となります．