指数関数の極限

\[ \lim_{ x \to \infty } \frac{ 5^x }{ 5^{ x + 1 } + 2^x } \]

は分子と分母が発散するため，$\dfrac{ \infty }{ \infty }$ となり意味をなさない．この場合，分子と分母を $5^x$ で割ってから極限を考えます．

\begin{split} \lim_{ x \to \infty } \frac{ 5^x }{ 5^{ x + 1 } + 2^x } &= \lim_{ x \to \infty } \frac{ 1 }{ 5 + \dfrac{ 2^x }{ 5^x } } \\ &= \lim_{ x \to \infty } \frac{ 1 }{ 5 + \left( \dfrac{ 2 }{ 5 } \right)^x } \\ &= \frac{ 1 }{ 5 + 0 } \\ &= \frac{ 1 }{ 5 } \end{split}