分数関数の極限：0/0と無限/無限の不定形をどう考えるか

$x$ の収束値を関数に代入して

• 分母が $0$ でない
• 分子と分母が有限値になる

ときは，代入した値が分数関数の極限値になります．

\begin{split} \lim_{ x \to 1 } \frac{ 2x^2 - 7x + 3 }{ x - 3 } &= \frac{ 2 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 3 }{ 1 - 3 } \\ &= \frac{ -2 }{ -2 } \\ &= 1 \end{split}

分子と分母が $0$ になるとき

\[ \lim_{ x \to 3 } \frac{ 2x^2 - 7x + 3 }{ x - 3 } \]

は分母 $x - 3$ に $x = 3$ を代入すると $0$ になり，分子もまた $0$ になります．$\dfrac{ 0 }{ 0 }$ という数はないため，分数関数を変形してから代入します．

\begin{split} \lim_{ x \to 3 } \frac{ 2x^2 - 7x + 3 }{ x - 3 } &= \lim_{ x \to 3 } \frac{ (2x - 1)(x - 3) }{ x - 3 } \\ &= \lim_{ x \to 3 } (2x - 1) \\ &= 5 \end{split}

$x$ を無限に近づけるとき

\[ \lim_{ x \to \infty } \frac{ 2x^2 - 7x + 3 }{ x^2 + 5x } \]

は分子と分母が発散するため，$\dfrac{ \infty }{ \infty }$ となり意味をなさない．この場合，分子と分母を $x^2$ で割ってから極限を考えます．

\begin{split} \lim_{ x \to \infty } \frac{ 2x^2 - 7x + 3 }{ x^2 + 5x } &= \lim_{ x \to \infty } \frac{ 2 - 7 \dfrac{ 1 }{ x } + 3 \dfrac{ 1 }{ x^2 } }{ 1 + 5 \dfrac{ 1 }{ x } }\\ &= \frac{ 2 - 7 \cdot 0 + 3 \cdot 0 }{ 1 + 5 \cdot 0 } \\ &= 2 \end{split}