三角関数の極限の公式 lim_{x→0} sin x / x = 1

三角関数の極限公式

\[ \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin{ x } }{ x } = 1 \\ \lim_{ x \to 0 } \frac{ x }{ \sin{ x } } = 1 \]

$x$ が $0$ に近づくとき $\sin{ x }$ も同じように $0$ に収束します．

意味
$y = \sin{ x }$ は $x = 0$ の近くで一次関数 $y = x$ に近似できる．

例

\begin{split} \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin{ 5x } }{ x } &= \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin{ 5x } }{ 5x } \cdot 5 \\ &= 5 \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin{ 5x } }{ 5x } \end{split}

$t = 5x$ とすると $x \to 0$ は $t \to 0$ を意味するから

\begin{split} \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin{ 5x } }{ x } &= 5 \lim_{ t \to 0 } \frac{ \sin{ t } }{ t } \\ &= 5 \cdot 1 \\ &= 5 \end{split}

この問題は $x = 0$ の近くで $y = \sin{ ax }$ が $y = ax$ に近似できることを意味します．

\[ \sin{ ax } \sim ax \]

わかりやすく説明するために $\sim$ を使いましたが，数学の厳密な記号ではありません．$\sim$ を $=$ とみなすと

\begin{split} \frac{ \sin{ ax } }{ x } &= \frac{ ax }{ x } \\ &= a \end{split}

となります．$\sim$ で関数を近似すると極限の問題を解きやすくなります．

$\dfrac{ \tan{ x } }{ x }$ の極限

\[ \lim_{ x \to 0 } \cos{x} = 1 \]

だから

\begin{split} \lim_{ x \to 0 } \frac{ \tan{ x } }{ x } &= \lim_{ x \to 0 } \left( \frac{ 1 }{ x } \cdot \frac{ \sin{x} }{ \cos{x} } \right) \\ &= \lim_{ x \to 0 } \left( \frac{ \sin{x} }{ x } \cdot \cos{x} \right) \\ &= \lim_{ x \to 0 } \left( \frac{ \sin{x} }{ x } \right) \\ &= 1 \end{split}

$\dfrac{ 1 - \cos{x} }{ x^2 }$ の極限

$x \to 0$ で $1 - \cos{x}$ も $x^2$ も $0$ に収束するため，分子と分母に $1 + \cos{x}$ をかけて不定形を回避します．

\begin{split} \lim_{ x \to 0 } \frac{ 1 - \cos{x} }{ x^2 } &= \lim_{ x \to 0 } \frac{ ( 1 - \cos{x} )( 1 + \cos{x} ) }{ x^2 ( 1 + \cos{x} ) } \\ &= \lim_{ x \to 0 } \frac{ 1 - \cos^2{x} }{ x^2 ( 1 + \cos{x} ) } \\ &= \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin^2{x} }{ x^2 ( 1 + \cos{x} ) } \\ &= \lim_{ x \to 0 } \left( \frac{ \sin^2{x} }{ x^2 } \right) \frac{ 1 }{ 1 + \cos{x} } \\ &= \lim_{ x \to 0 } \left( \frac{ \sin{x} }{ x } \right)^2 \frac{ 1 }{ 1 + \cos{x} } \\ &= \lim_{ x \to 0 } 1^2 \frac{ 1 }{ 1 + \cos{x} } \\ &= \lim_{ x \to 0 } 1 \frac{ 1 }{ 1 + \cos{x} } \\ &= \frac{ 1 }{ 1 + 1 } \\ &= \frac{ 1 }{ 2 } \\ \end{split}

ルートのある分数における分母の有理化と本質的に同じです．