接線の方程式を計算する：微分係数の問題

次の曲線の各点における接線の方程式を求めなさい．

$(1) \quad y ＝ x^{2} \quad (1,\ 1)$

$(2) \quad y = x^{2} + 3 \quad (2,\ 7)$

$(3) \quad y = 2x^{2} - x + 1 \quad (-1,\ 4)$

$(4) \quad y = -3x^{2} + 2x - 3 \quad (1,\ -4)$

答

$(1) \quad y ＝ x^{2} \quad (1,\ 1)$

$y\prime = 2x$ だから $(1,\ 1)$ における接線の傾きは $2\cdot{1} = 2$．接線の方程式は

\begin{split} y &= 2(x-1) + 1 \\ &= 2x - 1 \end{split}

$(2) \quad y = x^{2} + 3 \quad (2,\ 7)$

$y\prime = 2x$ だから $(2,\ 7)$ における接線の傾きは $2\cdot{2} = 4$．接線の方程式は

\begin{split} y &= 4(x-2) + 7 \\ &= 4x - 1 \end{split}

$(3) \quad y = 2x^{2} - x + 1 \quad (-1,\ 4)$

$y\prime = 4x - 1$ だから $(-1,\ 4)$ における接線の傾きは $4 \cdot (-1) = -4$．接線の方程式は

\begin{split} y &= -4(x-(-1))+4 \\ &= -4x \end{split}

$(4) \quad y = -3x^{2} + 2x - 3 \quad (1,\ -4)$

$y\prime = -6x + 2$ だから $(1,\ -4)$ における接線の傾きは $-6 \cdot 1 = -6$．接線の方程式は

\begin{split} y &= -6(x-1) + (-4) \\ &= -6x + 2 \end{split}