素イデアルの定義と性質(可換環)
可換環Aのイデアルpは
- pはAでない
- xyがpに含まれるとき、xまたはyがpに含まれる
を満たすとき、Aの素イデアルという。
性質
Aをpで割ると整域になる。これは素イデアルの二番目の性質からわかる。
またA\pは積に関して閉じている。素イデアルは積の分解について「開いている」ので、それ以外の集合は自ずと閉じることになる。
例
整数Zは可換環であり、nZ(nは自然数)はすべてイデアルになる。ここでnが素数のとき、nZは素イデアルになる。
例えば3Zは素イデアル。実際、3Zは自明でないイデアルで、xyが3Zに含まれていたら、xまたはyが3の倍数になるため、xまたはyが3Zに含まれることになる。
しかし6Zは素イデアルでない。これはxyが6Zに含まれているとしても
x=2m
y=3n
かつ
mは3の倍数でない
nは2の倍数でない
のとき、xとyはどちらも6Zに含まれない。
このように素イデアルとは素数を拡張した概念といえる。
可換環
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