確率変数と確率分布の基本　さいころの例と確率分布のいろいろな例

確率変数とは、確率が一意に定まっている事象のこと。確率変数の実際の数値はその事象に対応する数値となる。

さいころを例にとると、さいころの目が確率変数 $X$ となり、$1$〜$6$ が確率変数 $X$ のとりうる値になる。

さいころの目が出る確率はすべて $\dfrac{1}{6}$ であり、それぞれの目に対応する確率は一つに定まる。

確率分布とその合計値

確率分布とは、確率変数 $X$ のとりうる値 $x_k$ に対して確率 $p_k$ が定まっていること。$p_k \ (k=1 \dots n)$ をまとめて $P$ と書くことが多い。さいころの確率分布は

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ 4 & \frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{6} \\ 6 & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array} \]

となる。すべての事象の確率を足すと $1$ になる。

\[ \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 1 \]

確率分布の確率の合計値は必ず $1$ になる。

\[ p_1 + \dots + p_n = 1 \]

$2$ 枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

コインの表と裏が出る確率はそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ とすると、$2$ 枚のコインを投げたときの表が出る確率は次のようになる。

表の枚数が $0$ 枚

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

表の枚数が $1$ 枚

\[ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

表の枚数が $2$ 枚

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

確率分布は次のとおり。

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline 0 & \frac{1}{4} \\ 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{1}{4} \\ \hline \end{array} \]

表も裏も確率が同じなので、表が 0 枚のときと 2 枚のときの確率は等しくなる。このように考えると、表の枚数が 1 枚のときの確率は、1 から「表が 0 枚のときと 2 枚のときの確率の和」を引いた確率となる。以下「表が 1 枚」といった言葉は「表1」などと省略する。

「枚数が少ないときの確率」から「枚数が中途半端なときの確率」を求める引き算的な考えはとても大切である。

$3$ 枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

表の枚数が $0$ 枚

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]

表の枚数が $1$ 枚

\[ {}_3 C _1 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8} \]

表の枚数が $2$ 枚

\[ {}_3 C _1 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8} \]

表の枚数が $3$ 枚

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]

確率分布は次のとおり。

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline 0 & \frac{1}{8} \\ 1 & \frac{3}{8} \\ 2 & \frac{3}{8} \\ 3 & \frac{1}{8} \\ \hline \end{array} \]

コインが $2$ 枚のときの確率分布で引き算のやり方が出てきた。この考えはコインが $3$ 枚以上のときにより重要になってくる。「表1」と「表2」の確率は、$0$ 枚のときと $3$ 枚のときの確率がわかっていれば求められることを次にしめす。

まず表が $1$ 枚のとき、裏は $2$ 枚である。表と裏の確率は同じだから、「表1裏2」は「表2裏1」に等しい。そして「表0裏3」と「表3裏1」はそれぞれ $\dfrac{1}{8}$ である。以上から

\[ 表1裏2 \\ = (1 - \frac{1}{8} \times 2) \div 2 \\ = \frac{3}{8} \]

となる。コインの確率問題では、表と裏の確率が同じであるとき、確率分布が左右対称のような感じになる。

$2$ 個のさいころを投げたときの最大値の確率分布

$2$ 個のさいころを $A$ と $B$ に分けて、$2$ 個のさいころの出方に対する最大値（Max）を考えてみよう。

\[ \begin{array}{ccc} \hline A & B & Max \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 1 & 5 & 5 \\ 1 & 6 & 6 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \\ 2 & 5 & 5 \\ 2 & 6 & 6 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 5 \\ 3 & 6 & 6 \\ 4 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 4 \\ 4 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 5 & 5 \\ 4 & 6 & 6 \\ 5 & 1 & 5 \\ 5 & 2 & 5 \\ 5 & 3 & 5 \\ 5 & 4 & 5 \\ 5 & 5 & 5 \\ 5 & 6 & 6 \\ 6 & 1 & 6 \\ 6 & 2 & 6 \\ 6 & 3 & 6 \\ 6 & 4 & 6 \\ 6 & 5 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ \hline \end{array} \]

それぞれのパターンの確率は $\dfrac{1}{36}$ だから、確率分布は下のようになる。

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline 1 & \frac{1}{36} \\ 2 & \frac{3}{36} \\ 3 & \frac{5}{36} \\ 4 & \frac{7}{36} \\ 5 & \frac{9}{36} \\ 6 & \frac{11}{36} \\ \hline \end{array} \]