確率変数の変換と期待値、分散、標準偏差の変換公式

確率変数 $X$ と定数 $a$ 、 $b$ について $Y=aX+b$ も確率変数となり、期待値、分散、標準偏差は次のように変換されます。

期待値 : $E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b$
分散 : $V(Y)=V(aX+b)=a^2 V(X)$
標準偏差 : $\sigma(Y)=\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)$

確率変数の変換例

確率変数と確率分布の基本と同様、さいころの目を例に考えます。さいころの目は確率変数でした。

\[ \begin{array}{cc} \hline X & P \\ \hline 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ 4 & \frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{6} \\ 6 & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array} \]

それでは $Y=2X+3$ という確率変数はどうなるでしょうか？

もともとの確率変数 $X$ が $1,2,3,4,5,6$ という値をとるため、確率変数 $Y$ は $5,7,9,11,13,15$ という値をとります。しかし値は変わってもそれぞれの値に対する確率は変わらないので、確率変数 $Y$ の確率分布はこのようになります。

\[ \begin{array}{cc} \hline Y & P \\ \hline 5 & \frac{1}{6} \\ 7 & \frac{1}{6} \\ 9 & \frac{1}{6} \\ 11 & \frac{1}{6} \\ 13 & \frac{1}{6} \\ 15 & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array} \]

ここで $X$ と $Y$ における期待値、分散、標準偏差を計算してみます。

\begin{eqnarray} E(X) & = & 1 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{2} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} V(X) & = & E(X^2) - {E(X)}^2 \\ & = & 1^2 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 6^2 \cdot \frac{1}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 \\ & = & \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \sigma(X) & = & \sqrt{\frac{35}{12}} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} E(Y) & = & 5 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 15 \cdot \frac{1}{6} = 10 \\ & = & 2 \cdot \frac{7}{2} + 3 \\ & = & 2E(X) + 3 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} V(Y) & = & E(Y^2) - {E(Y)}^2 \\ & = & 5^2 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 15^2 \cdot \frac{1}{6} - 10^2 \\ & = & \frac{670}{6} - 100 = \frac{35}{3} \\ & = & 4 \cdot \frac{35}{12} \\ & = & 2^2 \cdot V(X) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \sigma(Y) & = & \sqrt{\frac{35}{3}} \\ & = & 2\sqrt{\frac{35}{12}} \\ & = & 2V(X) \end{eqnarray}

変換公式が成り立っていることがわかります。