正多面体の面、辺、点の数をまとめると下の表になります。
形 | 面の形 | 面の数 | 辺の数 | 点の数 |
---|---|---|---|---|
正四面体 | 正三角形 | 4 | 6 | 4 |
正六面体 | 正方形 | 6 | 12 | 8 |
正八面体 | 正三角形 | 8 | 12 | 6 |
正十二面体 | 正五角形 | 12 | 30 | 20 |
正二十面体 | 正三角形 | 20 | 30 | 12 |
正多面体の性質は中学一年生で習います。面の数は正◯面体の◯に相当し、例えば正十二面体であれば12、正二十面体であれば20となります。
では辺の数と点の数はどのように覚えるべきでしょうか? 面の数がわかっているものとして、以下の表から出発するとします。
形 | 面の形 | 面の数 | 辺の数 | 点の数 |
---|---|---|---|---|
正四面体 | 正三角形 | 4 | - | - |
正六面体 | 正方形 | 6 | - | - |
正八面体 | 正三角形 | 8 | - | - |
正十二面体 | 正五角形 | 12 | - | - |
正二十面体 | 正三角形 | 20 | - | - |
この表をまずは紙に書いてください。これから辺の数、点の数の順番に数を埋めていきます。
辺の数は以下のようにして求めます。正多面体の面の数から求めます。
(正多面体の辺の数)
=(面の辺の数)×(正多面体の面の数)÷2
正十二面体でやってみましょう。
(正十二面体の辺の数)
=(五角形の辺の数)×(正十二面体の面の数)÷2
=5×12÷2=30
正四面体、正六面体、正八面体、正二十面体でもやってみましょう。
(正四面体の辺の数)
=(三角形の辺の数)×(正四面体の面の数)÷2
=3×4÷2=6
(正六面体の辺の数)
=(四角形の辺の数)×(正六面体の面の数)÷2
=4×6÷2=12
(正八面体の辺の数)
=(三角形の辺の数)×(正八面体の面の数)÷2
=3×8÷2=12
(正二十面体の辺の数)
=(三角形の辺の数)×(正二十面体の面の数)÷2
=3×20÷2=30
こうして以下の表が完成します。
形 | 面の形 | 面の数 | 辺の数 | 点の数 |
---|---|---|---|---|
正四面体 | 正三角形 | 4 | 6 | - |
正六面体 | 正方形 | 6 | 12 | - |
正八面体 | 正三角形 | 8 | 12 | - |
正十二面体 | 正五角形 | 12 | 30 | - |
正二十面体 | 正三角形 | 20 | 30 | - |
正多面体の点の数をオイラーの多面体定理から求めます。
オイラーの多面体定理
(点の数)=(辺の数)-(面の数)+2
これを使うとそれぞれの点の数はこうなります。
(正四面体の点の数)
=6-4+2
=4
(正六面体の点の数)
=12-6+2
=8
(正八面体の点の数)
=12-8+2
=6
(正十二面体の点の数)
=30-12+2
=20
(正二十面体の点の数)
=30-20+2
=12
こうして以下の表が完成します。
形 | 面の形 | 面の数 | 辺の数 | 点の数 |
---|---|---|---|---|
正四面体 | 正三角形 | 4 | 6 | 4 |
正六面体 | 正方形 | 6 | 12 | 8 |
正八面体 | 正三角形 | 8 | 12 | 6 |
正十二面体 | 正五角形 | 12 | 30 | 20 |
正二十面体 | 正三角形 | 20 | 30 | 12 |