正多面体の面、辺、点の数とオイラーの多面体定理（中1数学）

正多面体の面、辺、点の数をまとめると下の表になります。

正多面体の性質は中学一年生で習います。面の数は正◯面体の◯に相当し、例えば正十二面体であれば12、正二十面体であれば20となります。

では辺の数と点の数はどのように覚えるべきでしょうか？　面の数がわかっているものとして、以下の表から出発するとします。

この表をまずは紙に書いてください。これから辺の数、点の数の順番に数を埋めていきます。

1. まず辺の数を求める
2. そして点の数を求める（オイラーの多面体定理）

軸を中心に図形を回転してできる立体｜中１数学

正多面体の辺の数

辺の数は以下のようにして求めます。正多面体の面の数から求めます。

（正多面体の辺の数）
＝（面の辺の数）×（正多面体の面の数）÷2

正十二面体でやってみましょう。

（正十二面体の辺の数）
＝（五角形の辺の数）×（正十二面体の面の数）÷2
＝5×12÷2＝30

正四面体、正六面体、正八面体、正二十面体でもやってみましょう。

（正四面体の辺の数）
＝（三角形の辺の数）×（正四面体の面の数）÷2
＝3×4÷2＝6

（正六面体の辺の数）
＝（四角形の辺の数）×（正六面体の面の数）÷2
＝4×6÷2＝12

（正八面体の辺の数）
＝（三角形の辺の数）×（正八面体の面の数）÷2
＝3×8÷2＝12

（正二十面体の辺の数）
＝（三角形の辺の数）×（正二十面体の面の数）÷2
＝3×20÷2＝30

こうして以下の表が完成します。

正多面体の点の数

正多面体の点の数をオイラーの多面体定理から求めます。

オイラーの多面体定理

（点の数）＝（辺の数）－（面の数）＋２

これを使うとそれぞれの点の数はこうなります。

（正四面体の点の数）
＝6－4＋2
＝4

（正六面体の点の数）
＝12－6＋2
＝8

（正八面体の点の数）
＝12－8＋2
＝6

（正十二面体の点の数）
＝30－12＋2
＝20

（正二十面体の点の数）
＝30－20＋2
＝12

こうして以下の表が完成します。

立体の表面積と体積