環と可換環の定義
環は足し算とかけ算のある集合。足し算について可換群であり、結合法則と分配法則を満たすようにかけ算も入っている。
整数と多項式の集合は環。環は必ずしもかけ算における逆元を持たない。
環の定義
集合 $R$ の任意の元 $a,\ b \in R$ について、以下の性質を満たすように + と * が定義されているとき、 $R$ を(単位元つきの)環(ring)という。ページの都合上、かけ算の * 記号は省略する。
$(R1)\ \ \forall a,\ b,\ c \in R,\ (a+b)+c=a+(b+c)$
$(R2)\ \ \exists 0 \in R,\ \forall a \in R,\ a+0=0+a=a$
$(R3)\ \ \forall a \in R,\ \exists b \in R,\ a+b=b+a=0$
$(R4)\ \ \forall a,\ b \in R,\ a+b=b+a$
$(R5)\ \ \forall a,\ b,\ c \in R,\ (ab)c=a(bc)$
$(R6)\ \ \exists e \in R,\ \forall a \in R,\ ae=ea=a$
$(R7)\ \ \forall a,\ b,\ c \in R,\ a(b+c)=ab+ac,\ (a+b)c=ac+bc$
$R1$ から $R4$ まではアーベル群の定義(足し算について群であり、可換である)。
$R5$ と $R6$ はかけ算の定義と単位元の存在を示す。逆元は定義されない。$R7$ は分配法則の定義。
可換環の定義
$(R8)\ \ \forall a, b \in R,\ ab=ba$
$R8$ が加わった環を可換環という。可換環はかけ算について可換であり、代数の中心的なテーマになる。
可換環
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