数列の和の公式（定数、一次、二次、三次のシグマの公式と例題）

$p$ を定数とする

\[ \sum_{k=1}^{n} 1 = n \]

\[ \sum_{k=1}^{n} p = pn \]

\[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1) \]

\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \]

\[ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 = \left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \]

和の公式はすべて $1$ から始まる。また二つの数列の和は分解できます。

$p$、$q$ を定数、$a_k$、$b_k$ を数列（ $k=1,2,\cdots,n$ ）とする

\[ \sum_{k=1}^{n} (p a_k +q b_k) = p \sum_{k=1}^{n} a_k + q \sum_{k=1}^{n} b_k \]

和の公式を使う際の注意点は、和の公式がすべて $1$ から始まっているということ。例えばシグマが $3$ から始まっているときは、和の公式を使った後、$k=1$ と $k=2$ の項を引くといった後処理が必要になります。

数列の和の公式を使った例題

\begin{split} \sum_{k=1}^{3} k &= 1 + 2 + 3 = 6 \\ &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3+1) \\ &= 6 \end{split}

\begin{split} \sum_{k=1}^{5} k &= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \\ &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (5+1) \\ &= 15 \end{split}

\begin{split} \sum_{k=1}^{4} k^2 &= 1 + 4 + 9 + 16 = 30 \\ &= \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot (4+1) \cdot (2 \cdot 4+1) \\ &= 30 \end{split}

\begin{split} \sum_{k=1}^{4} k^3 &= 1 + 8 + 27 + 64 = 100 \\ &= \frac{1}{4} \cdot 4^2 \cdot (4+1)^2 \\ &= 100 \end{split}

\begin{split} \sum_{k=1}^{4} 1 &= 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \\ &= 4 \cdot 1 \\ &= 4 \end{split}

\begin{split} \sum_{k=1}^{4} 5 \\ &= 5 + 5 + 5 + 5 \\ &= 20 \end{split}

シグマが中途半端な数から始まっている数列の和の求め方

先に述べたように公式はすべて $1$ から始まっているため、シグマが $3$ など中途半端な数から始まっているときは注意。

\[ \sum_{k=4}^{7} k = 4+5+6+7=22 \]

\begin{split} \sum_{k=4}^{7} k &= \left\{\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot (7+1)\right\}-\left\{\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3+1)\right\} \\ &= 28-6 \\ &= 22 \end{split}

シグマが $4$ から始まっているため、シグマが $3$ までの和を引きます。

\begin{split} \sum_{k=13}^{100} k &= \left\{\frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (100+1)\right\}-\left\{\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot (12+1)\right\} \\ &= 5050-78 \\ &= 4972 \end{split}

同様にシグマが $13$ から始まっているため、シグマが $12$ までの和を引きます。

数列の和の分解公式を使った例題

二番目にあげたシグマの分解公式も使ってみます。

\[ \sum_{k=1}^{3} 2k+5 \\ = 7 + 9 + 11 = 27 \\ = 2\sum_{k=1}^{3} k + \sum_{k=1}^{3} 5 \\ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3+1) + 5 \cdot 3 \\ = 12 + 15 = 27 \]

\[ \sum_{k=1}^{3} 4k^2+7k+2 \\ = 4\sum_{k=1}^{3} k^2 + 7\sum_{k=1}^{3} k + \sum_{k=1}^{3} 2 \\ = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot (3+1) \cdot (2 \cdot 3+1) + 7 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3+1) + 2 \cdot 3 \\ = 56 + 42 + 6 = 104 \]