単射と全射の定義と例

単射

X = {1, 2, 3}, Y = {A, B, C, D}, f: X → Y について

1 → A
2 → B
3 → C

のとき、f は単射といいます。単射とは2つ以上の元から同じ元にいかないような関数です。下のような関数は単射ではありません。

1 → A
2 → A
3 → A

1 → A
2 → A
3 → B

1 と 2 が A という同じ元にいっているので、単射ではありません。

単射の例

実数を集合を R として f: R → R の関数が単射かどうかを考えてみます。

1. y = x + 1
2. y = x²
3. y = sin x

それぞれは

1. 単射
2. 単射でない
3. 単射でない

となります。y = x² では x = 1 も x = -1 も 1 という同じ元にむかうので、単射ではありません。y = a といった定数関数でない一次関数は単射です。

全射

X = {1, 2, 3, 4}, Y = {A, B, C}, f: X → Y について

1 → A
2 → B
3 → C
4 → C

のとき f は全射です。f は Y のすべての元をカバーしています。行き先の集合（Y）のすべての元をカバーするとき、f は全射といいます。全射は単射と違い、異なる元が同じ元に向かっても問題ありません。全射は単射と違うのです。次のような関数は全射ではありません。

1 → A
2 → A
3 → C
4 → C

上は B がカバーされていません。

1 → B
2 → B
3 → B
4 → B

上は A と C がカバーされていません。