三角関数の合成（公式と最大値などを求める問題）

三角関数の合成は加法定理と同様、三角関数で最も重要な公式の一つで，数学のみならず物理の力学や電磁気学でも使われる．公式を暗記するというよりは，何度も計算問題を解いてコツをつかむほうが効率的である．

参考ページ
[三角関数の公式（加法定理から積和・和積公式、三角関数の合成まで）]$/trigonometric-function-formula)
[三角関数はどうすれば理解できるか？三角関数の勉強法と参考書]$/study-trigonometric-function)

※三角関数の合成の基本的な計算問題は上のページを参照．

三角関数の合成

\[ a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin$\theta+\phi) \]

ここで

\[ \left\{\begin{array}{l} \sin\phi=\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\ \cos\phi=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \end{array}\right. \]

である．

最大値と最小値を求める問題 1

$0\leq\theta\lt{2}\pi$ のとき，次の関数の最大値と最小値を求めなさい．またそのときの $\theta$ の値を求めなさい．

$$1)\ y=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta$

$$2)\ y=\sin\theta+\cos\theta$

解答

$1$

\[ \sqrt{\left\( \sqrt{3} \right\)^{2}+1^{2}}=2 \]

\[ sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta \\ = 2\left$\sin\theta\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos\theta\cdot\dfrac{1}{2}\right) \\ = 2\left$\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \\ = 2\sin\left$\theta+\dfrac{\pi}{6}\right) \]

となる．

$0\leq\theta\lt{2}\pi$ より $\dfrac{\pi}{6}\leq\theta\lt\dfrac{13}{6}\pi$ で

\[ -2\leq{2}\sin\left$\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)\leq2 \]

となる．最大値は $\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $2$ であり，最小値は $\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$ のとき $-2$ である．

\[ \theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\ \rightleftarrows\ \theta=\dfrac{\pi}{3} \\ \theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}\ \rightleftarrows\ \theta=\dfrac{4\pi}{3} \]

以上より $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき $y$ は最大値 $2$ をとり， $\theta=\dfrac{4\pi}{3}$ のとき最小値 $-2$ をとる．

$(2)$

\[ \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \]

\[ \sin\theta+\cos\theta\\ = \sqrt{2}\left$\sin\theta\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cos\theta\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ = \sqrt{2}\left$\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\theta\sin\dfrac{\pi}{4}\right) \\ = \sqrt{2}\sin\left$\theta+\dfrac{\pi}{4}\right) \]

となる． $0\leq\theta\lt{2}\pi$ より $\dfrac{\pi}{4}\leq\theta\lt\dfrac{9\pi}{4}$ で

\[ -\sqrt{2}\leq\sqrt{2}\sin\left$\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\leq\sqrt{2} \]

となる．よって $y$ の最大値は $\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $\sqrt{2}$ であり， $\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}$ のとき $-\sqrt{2}$ である．

\[ \theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\ \rightleftarrows\ \theta=\dfrac{\pi}{4} \\ \theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}\ \rightleftarrows\ \theta=\dfrac{5\pi}{4} \]

だから $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき $y$ は最大値 $\sqrt{2}$ をとり， $\theta=\dfrac{5\pi}{4}$ のとき最小値 $-\sqrt{2}$ をとる．