平面ベクトルを二つの平面ベクトルに分解する問題は連立方程式の問題に帰着させる

平面ベクトル $\vec{p}$ を二つの平面ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に分解するとは

\[ \vec{p} = m \vec{a} + n \vec{b} \]

を満たす実数 $m$ と $n$ を求めることです。

平面ベクトルを二つの平面ベクトルに分解する問題

$\vec{p}=(-2,9)$ を $\vec{a}=(2,1)$ と $\vec{b}=(-4,3)$ で表しなさい。

解答

まずは $\vec{p} = m \vec{a} + n \vec{b}$ という式を作る。

\[ (-2,9) = m (2,1) + n (-4,3) \]

これを成分ごとに分ける。

\[ -2 = 2m + (-4)n \\ 9 = m + 3n \]

連立方程式の問題になった。あとはこの連立方程式を解く。

\[ m = 3 \\ n = 2 \]

となり

\[ \vec{p} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b} \]

となります。