相加相乗平均の関係と問題

相加相乗平均の関係とは、相加平均が相乗平均以上であるという関係です。相加平均はいわゆる平均(合計値を個数で割った値)と考えてください。相乗平均はすべての積を個数分だけ累乗根をとった値です。なお相加平均は算術平均、相乗平均は幾何平均ともいいます(相加平均は arithmetic mean、相乗平均は geometric mean という)。

相加相乗平均の関係: $a > 0$、$b > 0$ のとき \begin{equation} \frac{a + b}{2} \geqq \sqrt{ab} \end{equation} が成り立つ。等号は $a = b$ のときに成り立つ。 ※ $\sqrt{ab}$ を $a$ と $b$ の相乗平均といいます

1$a > 0$、$b > 0$ のとき、次の不等式を証明しなさい。

(1) $a + \dfrac{16}{a} \geqq 8$

(2) $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqq 2$

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

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(1) $a > 0$ より $\dfrac{16}{a} > 0$ であるから、相加相乗平均の関係より
\begin{eqnarray}
a + \dfrac{16}{a} \geqq 2 \sqrt{a \times \dfrac{16}{a}} = 8
\end{eqnarray}

(2) $a > 0$、$b > 0$ であるから、相加相乗平均の関係より
\begin{eqnarray}
\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqq 2 \sqrt{\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a}} = 2
\end{eqnarray}

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