円の方程式を中心と半径から求めるやり方と、円の方程式から中心と半径を求めるやり方

円の方程式は中心の座標と半径の長さがわかっていれば求められます。

中心 $(a, b)$、半径 $r$ の円の方程式は \begin{equation} (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \end{equation} となる。問題によるが、$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ は基本的に展開する必要はない。

1次の円の方程式を求めなさい.

((1)) 中心 ((2,\ 1)),半径 (5) の円

((2)) 中心 ((3,\ 7)),半径 (2) の円

((3)) 中心 ((-4,\ 5)),半径 (3) の円

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[su_spoiler title="解答" style="fancy"]

1

((1)) ((x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25)

((2)) ((x-3)^{2}+(y-7)^{2}=4)

((3)) ((x+4)^{2}+(y-5)^{2}=9)

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ここで $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 9$ という円の方程式を展開してみましょう。

\begin{equation}
(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 9 \
x^2 + 8x + 16 + y^2 - 10y + 25 = 9 \
x^2 + y^2 + 8x - 10y + 32 = 0
\end{equation}

このように円の方程式は展開すると $x^2 + y^2 + lx - my + n = 0$ という形になります。ではこの $x^2 + y^2 + lx - my + n = 0$ という方程式からもとの $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ という方程式に戻すにはどうすればいいでしょうか? それは平方完成です。

\begin{equation}
x^2 + y^2 + 8x - 10y + 32 = 0 \
x^2 + 8x + y^2 - 10y + 32 = 0 \
x^2 + 8x + (16 - 16) + y^2 - 10y + (25 - 25) + 32 = 0 \
(x^2 + 8x + 16) - 16 + (y^2 - 10y + 25) - 25 + 32 = 0 \
(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25) = 9 \
(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 3^2
\end{equation}

すると $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 32 = 0$ という円が中心 $(-4, 5)$、半径 $3$ の円であるとわかります。