三角関数の極限の公式 lim_{x→0} sin x / x = 1

\[ \lim_{x\to{0}}\dfrac{\sin{x}}{x}=1 \] \[ \lim_{x\to{0}}\dfrac{x}{\sin{x}}=1 \]

三角関数の極限の問題は基本的に上の公式を使います。数学Ⅲで最も重要な公式の一つです。

$x$ が $0$ に近づくと $\sin{x} \fallingdotseq \tan{x}$ となるので

\[ \lim_{x\to{0}}\dfrac{\tan{x}}{x}=1 \] \[ \lim_{x\to{0}}\dfrac{x}{\tan{x}}=1 \]

も成り立ちます。ただし使う機会はsinのほうが圧倒的に多い。

三角関数の極限の公式は、 $x$ が $0$ に近づくと $\sin{x}$ と $x$ の差がなくなっていくことを示しています。

三角関数の極限の問題

下の例を見てください。

\begin{eqnarray*} \lim_{x\to{0}}\dfrac{\sin{5x}}{x} &=& \lim_{x\to{0}}\dfrac{\sin{5x}}{5x} \cdot 5 \\ &=& 1 \cdot 5 \\ &=& 5 \end{eqnarray*}

式を変形して $\dfrac{\sin{x}}{x}$ をくくり出しています。

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