2点の座標から1次関数を求める問題

例題 グラフが点 $(4,\ 1)$ と点 $(8,\ 9)$ を通る $1$ 次関数を求めなさい。

求める $1$ 次関数を $y=ax+b$ とすると、グラフが点 $(4,\ 1)$ と点 $(8,\ 9)$ を通ることから \[ \left\{ \begin{array}{l} 1=a\cdot{4}+b\\ 9=a\cdot{8}+b \end{array} \right. \] すなわち \[ \left\{ \begin{array}{l} 4a+b=1\\ 8a+b=9 \end{array} \right. \] が成り立つ。上の式を $b$ の式にする。 \[ \left\{ \begin{array}{l} b=-4a+1\\ 8a+b=9 \end{array} \right. \] 上の式を下の式に代入する。 \[ 8a+(-4a+1)=9 \] \[ 4a+1=9 \] \[ 4a=8 \] \[ a=2 \] $b=-4a+1$ であるから \[ b=-4\cdot{2}+1=-7 \] \[ \left\{ \begin{array}{l} a=2\\ b=-7 \end{array} \right. \] 求める $1$ 次関数は $y=2x-7$ である。

1次の条件を満たす $1$ 次関数を求めなさい。

$(1)$ グラフが点 $(-4,\ -7)$ と点 $(-2,\ 1)$ を通る。

$(2)$ グラフが点 $(1,\ 3)$ と点 $(5,\ -9)$ を通る。

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$(1)$ 求める $1$ 次関数を $y=ax+b$ とすると、グラフが点 $(-4,\ -7)$ と点 $(-2,\ 1)$ を通ることから \[ \left\{ \begin{array}{l} -7=a\cdot{(-4)}+b\\ 1=a\cdot{(-2)}+b \end{array} \right. \] すなわち \[ \left\{ \begin{array}{l} -4a+b=-7\\ -2a+b=1 \end{array} \right. \] が成り立つ。上の式を $b$ の式にする。 \[ \left\{ \begin{array}{l} b=4a-7\\ -2a+b=1 \end{array} \right. \] 上の式を下の式に代入する。 \[ -2a+(4a-7)=1 \] \[ 2a-7=1 \] \[ 2a=8 \] \[ a=4 \] $b=4a-7$ であるから \[ b=4\cdot{4}-7=9 \] \[ \left\{ \begin{array}{l} a=4\\ b=9 \end{array} \right. \] 求める $1$ 次関数は $y=4x+9$ である。

$(2)$ 求める $1$ 次関数を $y=ax+b$ とすると、グラフが点 $(1,\ 3)$ と点 $(5,\ -9)$ を通ることから \[ \left\{ \begin{array}{l} 3=a\cdot{1}+b\\ -9=a\cdot{5}+b \end{array} \right. \] すなわち \[ \left\{ \begin{array}{l} a+b=3\\ 5a+b=-9 \end{array} \right. \] が成り立つ。上の式を $b$ の式にする。 \[ \left\{ \begin{array}{l} b=-a+3\\ 5a+b=-9 \end{array} \right. \] 上の式を下の式に代入する。 \[ 5a+(-a+3)=-9 \] \[ 4a+3=-9 \] \[ 4a=-12 \] \[ a=-3 \] $b=4a-7$ であるから \[ b=-(-3)+3=6 \] \[ \left\{ \begin{array}{l} a=-3\\ b=6 \end{array} \right. \] 求める $1$ 次関数は $y=-3x+6$ である。

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